AnnalesBaccalauréat

Bac Liban Terminale 2011 — Session normale, 31 mai 2011

Plans, barycentre et sphère, QCM de probabilités, nombres complexes ou similitudes directes, suite récurrente et logarithme · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice établit que deux plans sont perpendiculaires, utilise un barycentre pour reconnaître une sphère et détermine son intersection avec un plan. Le deuxième est un QCM de probabilités sur un arbre pondéré, des tirages simultanés et la répétition d'une expérience. Le troisième démontre la règle de l'argument d'un quotient puis compose une rotation et une symétrie axiale (non-spécialistes), ou démontre l'existence et l'unicité d'une similitude directe envoyant deux points sur deux points puis étudie une similitude et sa composée avec elle-même (spécialistes). Le dernier encadre la suite $u_{n+1} = u_n + \mathrm{e}^{-u_n}$ entre $\ln n$ et $1 + \ln(n-1)$ , par récurrence et par comparaison avec une intégrale, pour montrer que $\frac{u_n}{\ln n}$ tend vers 1.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Plans perpendiculaires, barycentre et intersection d'un plan et d'une sphère p. 1

Géométrie vectorielle dans l'espace · Barycentres et courbes de Bézier — vecteur normal, plans perpendiculaires, barycentre, représentation paramétrique, $\|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}\| = 12$ , intersection d'un plan et d'une sphère

Exercice 2 — QCM : arbre pondéré, probabilités conditionnelles, tirages simultanés et répétition d'expériences p. 1–2

Probabilités totales et formule de Bayes · Coefficients binomiaux · Lois de Bernoulli et binomiale — QCM, arbre pondéré, probabilité conditionnelle, tirage simultané, combinaisons, au moins une fois

Exercice 3 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Argument d'un quotient (restitution de connaissances), forme exponentielle, rotation et symétrie axiale p. 2–3

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — restitution organisée de connaissances, argument, forme exponentielle, $\frac{z_B}{z_A} = (1 + \sqrt{3})\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}$ , rotation, symétrie axiale, lieu de points

Exercice 3 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Similitudes directes : existence et unicité (restitution de connaissances), composée et écriture complexe p. 3–4

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne · Arithmétique des entiers — similitude directe, rapport et angle, triangle rectangle isocèle, $\sigma = s \circ s$ , $z' = (1 + \mathrm{i})z + 2 - \mathrm{i}$ , produit scalaire, points à coordonnées entières

Exercice 4 — Suite $u_{n+1} = u_n + \mathrm{e}^{-u_n}$ : encadrement logarithmique, comparaison avec une intégrale et limite de $\frac{u_n}{\ln n}$ p. 4–5

Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x + \mathrm{e}^{-x}$ , asymptote oblique, $\ln(1 + x) \leqslant x$ , raisonnement par récurrence, somme harmonique, comparaison somme-intégrale, $\ln n \leqslant u_n \leqslant 1 + \ln(n-1)$

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Indépendance d'événements et de tribus Ensembles finis et principe des tiroirs Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point