AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2024 — Jour 1 (remplacement), 11 septembre 2024 (Métropole, Antilles-Guyane)

Cube : projeté orthogonal sur le plan $(BDG)$ et volumes de pyramides, fonction $(1 - x^2)\mathrm{e}^x$ et intégration par parties, fonction bénéfice $8q^2[2 - 3\ln(q)] - 3$ , vrai-faux sur les suites, loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice place dans un cube le point $L$ défini par $\overrightarrow{IL} = \frac{3}{4}\overrightarrow{IG}$ , montre qu'il est le projeté orthogonal du point $K$ sur le plan $(BDG)$ , calcule le volume du tétraèdre $KDBG$ et cherche s'il existe un réel $a > 0$ pour lequel le tétraèdre $GDBK_a$ et la pyramide $ABCDK_a$ ont le même volume. Le deuxième calcule par intégration par parties l'aire sous la courbe de $f(x) = (1 - x^2)\mathrm{e}^x$ pour obtenir un volume de chocolat, puis étudie la fonction bénéfice $B(q) = 8q^2[2 - 3\ln(q)] - 3$ , son maximum et l'équation $B(q) = 10$ , afin de déterminer les quantités assurant un bénéfice supérieur à 100 euros. Le troisième est un vrai-faux sur des suites (arithmético-géométrique, encadrement, formule explicite proposée, limite, suite calculée par un script Python). Le quatrième utilise la loi binomiale pour des cachets non conformes, puis l'espérance et l'écart-type d'une somme de masses et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Cube : plan $(BDG)$ , projeté orthogonal, volume du tétraèdre $KDBG$ et pyramide à paramètre p. 1–2

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, $\overrightarrow{IL} = \frac{3}{4}\overrightarrow{IG}$ , équation cartésienne $x + y - z - 1 = 0$ , représentation paramétrique d'une droite, projeté orthogonal sur un plan, triangle équilatéral, volume d'un tétraèdre, pyramide $ABCDK_a$

Exercice 2 — Fonction $(1 - x^2)\mathrm{e}^x$ et intégration par parties, fonction bénéfice avec logarithme et TVI p. 3–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Dérivabilité · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = (1 - x^2)\mathrm{e}^x$ , intégration par parties, aire sous une courbe, $B(q) = 8q^2[2 - 3\ln(q)] - 3$ , $B'(q) = 8q(1 - 6\ln(q))$ , bénéfice maximal, théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 3 — Vrai-faux sur les suites : arithmético-géométrique, encadrement, formule explicite, limite et suite calculée en Python p. 4

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme — vrai-faux, $t_{n+1} = -0{,}8t_n + 18$ , $3n - 4 \leqslant S_n \leqslant 3n + 4$ , $v_{n+1} = 2 - \frac{1}{v_n}$ , formule explicite d'une suite récurrente, $u_n = \mathrm{e}^n - n$ , $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$

Exercice 4 — Cachets : loi binomiale, somme de variables aléatoires et inégalité de Bienaymé-Tchebychev p. 5

Lois de Bernoulli et binomiale · Couples et sommes de variables aléatoires · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments · Fonctions exponentielle et logarithme — loi binomiale de paramètres $100$ et $0{,}02$ , espérance, $P(N \leqslant 5)$ , nombre maximal de cachets, $S = M_1 + M_2 + \cdots + M_{100}$ , écart-type $s = 10\sigma$ , $P(|S - 200| \geqslant 1) \leqslant 0{,}1$ , inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités