AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2014 — Remplacement, 5 mars 2015

Intersection de la courbe exponentielle et d'une droite, probabilités conditionnelles et lois exponentielle et binomiale, perpendiculaire commune à deux droites, suites couplées et nombres complexes · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice détermine, selon le réel $a > 0$ , le nombre de points communs à la courbe de l'exponentielle et à la droite d'équation $y = ax$ , en étudiant $f_a(x) = \mathrm{e}^x - ax$ dont le minimum vaut $a - a\ln a$ . Le deuxième exercice porte sur des puces électroniques : probabilités conditionnelles, durée de vie de loi exponentielle de paramètre $\lambda = -\ln(0{,}98)/1000$ , puis loi binomiale. Le troisième exercice établit dans l'espace l'existence d'une droite perpendiculaire à deux droites non coplanaires. Le quatrième exercice, le seul proposé dans ce document et réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité, corrige un algorithme calculant deux suites couplées puis les exprime à l'aide de $z_n = u_n + \mathrm{i}v_n$ et de la forme exponentielle de $\sqrt{3} + \mathrm{i}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction $x \mapsto \mathrm{e}^x - ax$ : nombre de points d'intersection de la courbe exponentielle et d'une droite p. 1

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Limites de fonctions et asymptotes — étude de fonction à paramètre, minimum $a - a\ln a$ , tableau de variations, nombre de solutions d'une équation, courbe de l'exponentielle

Exercice 2 — Probabilités conditionnelles, loi exponentielle et loi binomiale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Loi exponentielle · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments — probabilité conditionnelle, durée de vie, loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , loi binomiale $\mathcal{B}(15000\,;\,0{,}003)$ , espérance

Exercice 3 — Droites non coplanaires et perpendiculaire commune p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — représentation paramétrique, droites non coplanaires, droites perpendiculaires, vecteur normal, intersection de deux plans, perpendiculaire commune

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suites couplées, algorithme et forme exponentielle d'un nombre complexe p. 3–4

Nombres complexes · Suites numériques · Informatique et algorithmique · Fonctions trigonométriques — suites couplées, correction d'un algorithme, $z_{n+1} = az_n$ , forme exponentielle, $u_n = 2^n \cos\left(\frac{n\pi}{6}\right)$

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Limite d'une fonction en un point Indépendance d'événements et de tribus Lois de Poisson et loi exponentielle Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Espaces vectoriels et sous-espaces Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Fonctions trigonométriques