AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2018 — Session normale, 27 novembre 2018

Fonctions exponentielles et aires entre courbes, loi binomiale et formule de Bayes, distances dans un cube, suite complexe ou suite de Fibonacci, PGCD et matrices · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice compare $f(x) = \mathrm{e}^{-x}$ et $g(x) = \frac{1}{x^2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ : conjectures graphiques, limite de $g$ en $+\infty$ , puis en $0$ par l'intermédiaire de $h = \ln(g)$ , variations, puis intégrale de $f - g$ et son passage à la limite, dont on interprète une égalité en termes d'aires. Le deuxième modélise les notes de trois candidats à un QCM par des lois binomiales et applique la formule de Bayes. Le troisième, dans un cube, compare la distance d'un point d'une droite $(PQ)$ à la droite $(IJ)$ et au plan $(HGB)$ . Au choix, les non-spécialistes étudient la suite $z_{n+1} = \frac{1}{3}z_n + \frac{2}{3}\mathrm{i}$ (module, argument, alignement des points), et les spécialistes la suite de Fibonacci (PGCD de termes consécutifs, puissances d'une matrice, triangle rectangle à côtés entiers).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonctions $\mathrm{e}^{-x}$ et $\frac{1}{x^2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ : limites, variations et aires entre les deux courbes p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes · Intégrales généralisées et intégrabilité — $g(x) = \frac{1}{x^2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ , conjecture graphique, $h(x) = \ln(g(x))$ , $g'(x) = \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}(1 - 2x)}{x^4}$ , $\int_a^b (f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x$ , aire entre deux courbes, interprétation graphique

Exercice 2 — Notes à un QCM : lois binomiales et formule de Bayes p. 2–3

Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — QCM répondu au hasard, loi binomiale de paramètres $20$ et $\frac{1}{4}$ , $P(X \geqslant 10)$ , formule des probabilités totales, probabilité conditionnelle

Exercice 3 — Cube : distance d'un point d'une droite à une autre droite et à un plan p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube $ABCDEFGH$ , représentation paramétrique de $(PQ)$ , $MK = \sqrt{2 + 2t^2}$ , plan $(HGB) : y - z = 0$ , droites orthogonales, distance d'un point à un plan

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite complexe $z_{n+1} = \frac{1}{3}z_n + \frac{2}{3}\mathrm{i}$ : suite géométrique auxiliaire, module, argument et alignement p. 4

Nombres complexes · Suites arithmétiques et géométriques — $z_{n+1} = \frac{1}{3}z_n + \frac{2}{3}\mathrm{i}$ , $u_n = z_n - \mathrm{i}$ , $u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n(1 - \mathrm{i})$ , module et argument, points alignés, droite $y = -x + 1$

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suite de Fibonacci : PGCD de termes consécutifs, puissances de matrice et triangle rectangle p. 5

PGCD, Bézout, Gauss · Calcul matriciel · Suites récurrentes linéaires — suite de Fibonacci, PGCD de termes consécutifs, $u_n^2 - u_{n+1}u_{n-1} = (-1)^{n-1}$ , $F^n = \begin{pmatrix} u_{n+1} & u_n \\ u_n & u_{n-1} \end{pmatrix}$ , $u_{2n+2} = u_{n+2}^2 - u_n^2$ , triangle rectangle à côtés entiers

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Espaces vectoriels et sous-espaces Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites réelles et limites PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Matrices d'une application linéaire