AnnalesBaccalauréat

Bac Pondichéry Terminale 2015 — Session normale, 17 avril 2015

Fonction logistique, théorème des valeurs intermédiaires et aire d'un domaine non borné, suites arithmético-géométriques, lois normale et binomiale avec gain d'une garantie, géométrie dans le cube ou nombres de Mersenne · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = \frac{3}{1 + \mathrm{e}^{-2x}}$ , son asymptote, une équation résolue par le théorème des valeurs intermédiaires, puis l'aire du domaine compris entre la courbe et cette asymptote pour $x \geqslant 0$ à l'aide d'une primitive. Le deuxième établit la limite d'une suite $u_{n+1} = au_n + b$ puis l'applique à la hauteur d'une plante taillée chaque année. Le troisième détermine l'écart-type d'une loi normale, utilise une loi binomiale et calcule l'espérance du gain d'une extension de garantie. Au choix, les non-spécialistes étudient dans un cube un triangle à l'aide d'algorithmes de produit scalaire, un plan, un projeté orthogonal et le volume d'un tétraèdre, et les spécialistes étudient la divisibilité des nombres de Mersenne $2^{33} - 1$ et $2^7 - 1$ par le théorème de Gauss, les congruences et un algorithme de recherche de diviseurs.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction logistique : variations, asymptote, valeurs intermédiaires et aire d'un domaine non borné p. 1–2

Dérivabilité · Continuité · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrales généralisées et intégrabilité — $f(x) = \frac{3}{1 + \mathrm{e}^{-2x}}$ , asymptote horizontale, théorème des valeurs intermédiaires, $H(x) = -\frac{3}{2}\ln(1 + \mathrm{e}^{-2x})$ , primitive, aire d'un domaine non borné

Exercice 2 — Suite arithmético-géométrique : suite géométrique associée, limite et modèle de croissance p. 2

Suites arithmétiques et géométriques — $u_{n+1} = au_n + b$ , $v_n = u_n - \frac{b}{1-a}$ , suite géométrique, $h_{n+1} = 0{,}75h_n + 30$ , raisonnement par récurrence, convergence

Exercice 3 — Loi normale, loi binomiale et espérance du gain d'une extension de garantie p. 2–4

Loi normale et vecteurs gaussiens · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments — $\mathcal{N}(84, \sigma^2)$ , $P(X \leqslant 64) = 0{,}16$ , variable centrée réduite, loi binomiale, loi d'une variable aléatoire, espérance d'un gain

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Cube : produit scalaire par algorithme, plan, projeté orthogonal et volume d'un tétraèdre p. 4–6

Géométrie vectorielle dans l'espace · Informatique et algorithmique — points non alignés, produit scalaire, triangle rectangle isocèle, $\vec{n}(5 ; -8 ; 4)$ , équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal, volume d'un tétraèdre

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Nombres de Mersenne : théorème de Gauss, congruences et recherche de diviseurs p. 4–5

PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Tests de primalité · Informatique et algorithmique · Suites arithmétiques et géométriques — nombres de Mersenne, théorème de Gauss, $2^{33} - 1$ , congruences modulo 3, somme géométrique, $2^7 - 1$ , test de primalité par divisions successives

Dans l'édifice

Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Exponentielle et logarithme Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites La loi normale Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Espaces vectoriels et sous-espaces Théorème de définition par récurrence PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ Théorème fondamental de l'arithmétique