AnnalesBaccalauréat

Bac Pondichéry Terminale 2018 — Session normale, 4 mai 2018

Suite arithmético-géométrique et fonction exponentielle (refroidissement d'un four), nombres complexes et géométrie, loi normale, Bayes, fluctuation et confiance, géométrie dans l'espace ou chiffre de Rabin · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise le refroidissement d'un four d'abord par la suite $T_n = 980 \times 0{,}82^n + 20$ , puis par la fonction $f(t) = 980\mathrm{e}^{-\frac{t}{5}} + 20$ issue de la relation $f'(t) + \frac{1}{5}f(t) = 4$ , dont on étudie les variations, la valeur moyenne sur 15 heures et l'abaissement horaire. Le deuxième multiplie les affixes de trois points par $j = -\frac{1}{2} + \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ et montre un alignement puis qu'un triangle est isocèle. Le troisième calibre des cristaux de sucre par des lois normales, applique la formule de Bayes, puis mène un test par intervalle de fluctuation et une estimation par intervalle de confiance. Au choix, les non-spécialistes étudient un tétraèdre $ABCD$ (distance minimale, vecteur normal, projeté orthogonal, volume), et les spécialistes le chiffre de Rabin, dont le déchiffrement passe par un système de congruences modulo $3$ et $11$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Refroidissement d'un four : suite arithmético-géométrique, fonction exponentielle et valeur moyenne p. 1–2

Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Équations différentielles linéaires · Informatique et algorithmique · Dérivabilité — $T_n = 980 \times 0{,}82^n + 20$ , $f'(t) + \frac{1}{5}f(t) = 4$ , $f(t) = 980\mathrm{e}^{-\frac{t}{5}} + 20$ , valeur moyenne, estimation graphique, $d(t) = 980\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{1}{5}}\right)\mathrm{e}^{-\frac{t}{5}}$

Exercice 2 — Multiplication par $j = -\frac{1}{2} + \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ : formes exponentielles, alignement et triangle isocèle p. 3

Nombres complexes — $j = -\frac{1}{2} + \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ , forme exponentielle, forme trigonométrique, points alignés, milieu d'un segment, triangle isocèle $MNP$

Exercice 3 — Calibrage du sucre : loi normale, formule de Bayes, intervalles de fluctuation et de confiance p. 3–4

Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes · Statistique : estimation et tests — tamis, loi normale de moyenne $0{,}58$ et d'écart type $0{,}21$ , détermination de $\sigma_V$ , probabilités totales, intervalle de fluctuation asymptotique, intervalle de confiance

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Tétraèdre $ABCD$ : distance minimale à une droite, vecteur normal, projeté orthogonal et volume p. 5

Géométrie vectorielle dans l'espace — représentation paramétrique de $(CD)$ , distance minimale, aire du triangle $BCD$ , vecteur normal $\vec{n}(2 ; 1 ; 2)$ , projeté orthogonal, volume d'un tétraèdre

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Chiffre de Rabin : congruences modulo $33$ , système modulo $3$ et $11$ , algorithme p. 5–7

Cryptographie · Théorème chinois · Informatique et algorithmique — chiffre de Rabin, $y \equiv x(x + B) \pmod{n}$ , $(x + 23)^2 \equiv 4 \pmod{33}$ , système de congruences modulo $3$ et $11$ , carrés modulo $11$ , déchiffrement non unique

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de définition par récurrence Dérivabilité Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle La loi normale Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Espaces vectoriels et sous-espaces Les anneaux ℤ/nℤ