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CAPES externe 2012 — Écrit disciplinaire appliqué

Anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ; isométries laissant invariants une ellipse, un cylindre et une hélice · 7 pages

Le premier problème caractérise les inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , étudie le groupe $(I_n, \times)$ avec ordres et cyclicité pour $n = 10$ et $12$ , demande des algorithmes, et montre que les non-inversibles forment un sous-groupe additif si et seulement si $n$ est une puissance d'un nombre premier. Le second étudie le groupe $G(F)$ des isométries laissant invariante une partie $F$ : il détermine ce groupe pour un point, une paire de points et une ellipse du plan, décrit translations, demi-tours et vissages de l'espace par leur expression analytique, puis détermine le groupe d'un cylindre elliptique et montre que celui d'une hélice elliptique ne contient que des déplacements.

Le sujet, partie par partie

Problème 1 — Anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ p. 2–3

Congruences et Z/nZ · Groupes cycliques et ordre · Anneaux et idéaux · PGCD, Bézout, Gauss · Informatique et algorithmique · Nombres premiers — inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , ordre d'un élément, groupe cyclique, entier primaire, algorithme, éléments non inversibles

Problème 2, Partie A — Généralités sur les isométries laissant une partie invariante p. 3–4

Géométrie affine et euclidienne · Groupes · Isométries et groupe orthogonal — groupe des isométries conservant une partie, déplacements, antidéplacements, sous-groupe, indice 2

Problème 2, Partie B — Exemples dans le plan : point, paire, ellipse p. 4

Géométrie affine et euclidienne · Coniques et quadriques · Isométries et groupe orthogonal — réflexion, rotation, symétrie centrale, ellipse, sommets principaux, groupe de symétrie d'une ellipse

Problème 2, Partie C — Isométries de l'espace p. 5

Matrices orthogonales et rotations · Géométrie affine et euclidienne · Isométries et groupe orthogonal · Géométrie affine — expression analytique, $\mathrm{SO}_3(\mathbb{R})$ , vissage, demi-tour, translation, réflexion

Problème 2, Partie D — Un cylindre à base elliptique p. 5–6

Géométrie affine et euclidienne · Matrices orthogonales et rotations · Courbes et surfaces · Coniques et quadriques · Matrices par blocs — cylindre elliptique, génératrices, intersection droite-cylindre, matrice orthogonale par blocs, groupe de symétrie

Problème 2, Partie E — Une hélice p. 7

Géométrie affine et euclidienne · Courbes et surfaces · Groupes · Isométries et groupe orthogonal — hélice elliptique, arc paramétré, vissage, symétries d'une hélice, déplacements

Dans l'édifice

Les anneaux ℤ/nℤ Sous-groupes Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème de définition par récurrence Théorème fondamental de l'arithmétique Espaces vectoriels et sous-espaces Groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Matrices d'une application linéaire