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CCINP MP 2012 — Maths 1

Normes équivalentes, intégrale à paramètre, intégrale curviligne et comparaison des convergences de séries de fonctions · 4 pages

Sujet (PDF)

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Trois exercices courts : l'équivalence de deux normes sur l'espace des fonctions $\mathcal{C}^1$ sur $[0, 1]$ (et la non-équivalence de toutes les normes), la continuité de fonctions définies par une intégrale avec un contre-exemple montrant le rôle de la domination, et le calcul de l'intégrale curviligne de la forme $(-y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y)/(x^2 + y^2)$ sur le cercle unité. Le problème compare les convergences simple, absolue, uniforme et normale des séries de fonctions, notamment pour $f_n(x) = \alpha_n x^n (1 - x)$ sur $\left[0, 1\right[$ avec $(\alpha_n)$ décroissante positive.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Normes équivalentes p. 2

Normes équivalentes · Intégrale sur un segment — norme sur les fonctions $\mathcal{C}^1$ , normes équivalentes, dimension infinie, norme infinie

Exercice 2 — Continuité d'une fonction définie par une intégrale p. 2

Intégrales à paramètre · Convergence dominée — théorème de continuité sous l'intégrale, hypothèse de domination, $\arctan(xt)/(1 + t^2)$ , contre-exemple $x e^{-xt}$

Exercice 3 — Une intégrale curviligne p. 2

Formes différentielles et intégrales curvilignes — intégrale curviligne, cercle unité, forme différentielle fermée non exacte

Problème, Partie I — Convergences normale, uniforme et absolue p. 3

Convergence uniforme et normale · Suites et séries de fonctions · Séries alternées · Séries entières — convergence normale, convergence absolue, convergence uniforme, reste d'une série, critère des séries alternées

Problème, Partie II — La série de fonctions $\alpha_n x^n (1 - x)$ p. 3–4

Convergence uniforme et normale · Séries numériques — convergence normale, suite décroissante, schéma des implications entre convergences

Dans l'édifice

Normes en dimension finie Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Formes différentielles et différentielle extérieure Intégrale d'une forme de degré 1 le long d'un chemin Lemme de Poincaré Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Suites, séries et parties compactes de ℂ Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques La demi-droite achevée et les sommes positives