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CCINP MP 2019 — Maths 1

Séries de Lambert · 4 pages

Deux exercices calculent $\int_0^\infty t/(e^t - 1) \,\mathrm{d}t = \pi^2/6$ par intégration terme à terme et établissent que la fonction génératrice d'une somme de variables indépendantes est le produit des fonctions génératrices, avec application à un tirage avec remise. Le problème étudie les séries de Lambert $\sum a_n x^n/(1 - x^n)$ : convergence sur $\left]-1, 1\right[$ , régularité, écriture comme série entière de coefficients $b_n = \sum_{d \mid n} a_d$ par sommation par paquets, puis exemples (nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, $a_n = (-1)^n$ ) avec équivalents en $0$ et en $1$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Une intégrale par intégration terme à terme p. 2

Interversion des limites · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonction zêta de Riemann — intégration terme à terme, intégrabilité, série géométrique, $\zeta(2)$

Exercice II — Fonctions génératrices p. 2

Fonctions génératrices · Couples et sommes de variables aléatoires · Familles sommables et produit de Cauchy · Lois de Bernoulli et binomiale — fonction génératrice, somme de variables indépendantes, produit de Cauchy, tirages avec remise, loi d'une somme

Introduction et Partie I — Propriétés p. 3

Convergence uniforme et normale · Familles sommables et produit de Cauchy · Séries entières · Équivalents et comparaison · Dérivabilité · Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius — séries de Lambert, convergence uniforme sur tout segment, famille sommable, sommation par paquets, somme sur les diviseurs

Partie II — Exemples p. 4

Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Interversion des limites · Séries entières · Équivalents et comparaison · Séries alternées · Fractions rationnelles — nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, théorème de la double limite, série du logarithme, équivalent au voisinage de $1$

Dans l'édifice

Une série entière est holomorphe Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann La fonction zêta de Riemann et son prolongement Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus La demi-droite achevée et les sommes positives Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites réelles et limites Dérivabilité Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Théorème fondamental de l'arithmétique Suites, séries et parties compactes de ℂ Corps des fractions d'un anneau intègre