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CCINP MP 2024 — Maths 2
Le premier exercice diagonalise une matrice et l'applique à l'étude de trois suites récurrentes couplées ; le second programme en Python la composition et l'inversion de permutations, un test de sous-groupe et le sous-groupe engendré par une permutation. Le problème établit plusieurs caractérisations des matrices symétriques réelles définies positives : caractérisation spectrale, critère trace-déterminant en dimension 2 (appliqué à l'extremum local de ), puis critère de Sylvester par les mineurs principaux, démontré par récurrence grâce à une décomposition par blocs et appliqué à des matrices et à des formes quadratiques.
Le sujet, partie par partie
Exercice 1 — Diagonalisation et suites récurrentes p. 2
Diagonalisation · Suites récurrentes linéaires · Suites numériques — diagonalisation, matrice de passage, suites récurrentes couplées, convergence de suites
Exercice 2 — Permutations en Python p. 2–3
Informatique et algorithmique · Groupe symétrique · Groupes · Groupes cycliques et ordre — permutations en Python, composition de permutations, permutation inverse, sous-groupe engendré, test de sous-groupe
Problème — Caractérisation spectrale et critère en dimension 2 p. 3
Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Points critiques et hessienne · Racines et relations coefficients-racines · Déterminants — matrice définie positive, théorème spectral, trace et déterminant, extremum local, matrice hessienne
Problème — Le critère de Sylvester p. 4–5
Matrices symétriques positives · Déterminants · Matrices par blocs · Formes bilinéaires et quadratiques · Matrices remarquables — critère de Sylvester, mineurs principaux, décomposition par blocs, récurrence sur la taille, matrice tridiagonale, forme quadratique définie positive