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CCINP MPI 2025 — Maths 2
Un premier exercice établit l'inégalité arithmético-géométrique par la concavité du logarithme, en déduit l'inégalité entre déterminant et trace pour une matrice symétrique définie positive, puis l'inégalité de Hadamard sur le produit des coefficients diagonaux. Un deuxième exercice montre que les polynômes de Tchebychev sont orthogonaux pour un produit scalaire à poids et en déduit une base orthonormale. Le problème, commun avec la filière MP, étudie les matrices de rang 1, de leurs exemples aléatoires jusqu'à leur classification par la trace.
Le sujet, partie par partie
Exercice 1 — Inégalité arithmético-géométrique et inégalité de Hadamard p. 2
Inégalité arithmético-géométrique · Matrices symétriques positives · Fonctions convexes · Déterminants · Théorème spectral — inégalité arithmético-géométrique, inégalité de Hadamard, matrice symétrique définie positive, déterminant et trace, concavité du logarithme
Exercice 2 — Polynômes de Tchebychev p. 3
Polynômes de Tchebychev · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrales généralisées et intégrabilité · Polynômes — polynômes de Tchebychev, produit scalaire à poids, base orthonormale, , relation de récurrence
Problème, Partie I — Matrices de rang 1 : exemples p. 3–4
Lois de Bernoulli et binomiale · Loi de Poisson · Diagonalisation · Matrices remarquables · Applications linéaires et rang · Couples et sommes de variables aléatoires — matrice aléatoire, loi de Bernoulli, loi de Poisson, matrice de rang 1, matrice de projection, matrice dont tous les coefficients valent
Problème, Partie II — Matrices de rang 1 : résultats généraux p. 4–5
Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Calcul matriciel · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes — matrice de rang 1, polynôme minimal, polynôme caractéristique, diagonalisabilité, matrices semblables, trace