AnnalesÉcoles d'ingénieurs

CCINP PC 2011 — Maths 2

Développement eulérien de $\operatorname{sh}$ et une intégrale à paramètre · 3 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet étudie la série de fonctions $U(x) = \sum 2x/(x^2 + n^2\pi^2)$ , sa primitive $V = \sum \ln(1 + x^2/(n^2\pi^2))$ et le produit infini $p(x) = x \prod (1 + x^2/(k^2\pi^2))$ . Grâce à la série de Fourier de la fonction $2\pi$ -périodique égale à $\operatorname{ch}(xt/\pi)$ sur $\left]-\pi, \pi\right]$ , il montre que $U(x) = \operatorname{ch} x/\operatorname{sh} x - 1/x$ puis $\operatorname{sh} x = x \prod (1 + x^2/(k^2\pi^2))$ . Enfin il prouve que $f(x) = \int_0^{+\infty} \sin(tx)/(e^{\pi t} - 1) \,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ et l'exprime à l'aide de $U$ par un développement en série de l'intégrande.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Une série de fonctions et un produit infini p. 1–2

Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Produits infinis · Séries numériques — convergence normale sur tout segment, continuité de la somme, intégration terme à terme, série de logarithmes, produit infini

Partie II — Série de Fourier et produit eulérien de $\operatorname{sh}$ p. 2

Séries de Fourier · Convergence des séries de Fourier · Produits infinis · Interversion des limites — coefficients de Fourier, théorème de Dirichlet, fonction périodique continue de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, développement de $\coth$ , produit eulérien de $\operatorname{sh}$

Partie III — Une intégrale à paramètre p. 3

Intégrales à paramètre · Théorèmes de convergence intégrale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée — intégrale à paramètre, dérivation sous le signe intégrale, fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ , intégration terme à terme, série géométrique, $\sin(tx)/(e^{\pi t} - 1)$

Dans l'édifice

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)Lemme de Fatou Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann