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CCINP PC 2014 — Mathématiques

Polynômes, matrices et systèmes différentiels stables · 8 pages

Un polynôme est dit stable si toutes ses racines complexes ont une partie réelle strictement négative, et une matrice l'est si son polynôme caractéristique l'est. Le sujet traite le degré 2, puis introduit la norme subordonnée et la mesure de Lozinskiĭ $\mu(A) = \lim (\|I_n + uA\| - 1)/u$ quand $u \to 0^+$ , qui majore la partie réelle des valeurs propres, la calcule pour la norme euclidienne (plus grande valeur propre de $({}^t\!A + A)/2$ ) et ses transportées $\|Hx\|$ , et en déduit le critère de Routh-Hurwitz en degré 3 : $X^3 + aX^2 + bX + c$ est stable si et seulement si $a, b, c > 0$ et $ab - c > 0$ . Il l'applique à un système différentiel $X' = CX$ dont toutes les solutions tendent vers $0$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Stabilité dans des cas particuliers p. 2–3

Racines et relations coefficients-racines · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Nombres complexes · Calcul matriciel · Stabilité des équilibres — polynôme stable, relations coefficients-racines, discriminant d'un trinôme, trace et déterminant, matrice stable, contre-exemple en dimension 3

Partie II — Norme subordonnée et mesure de Lozinskiĭ p. 3–4

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Réduction des endomorphismes · Compacité · Fonctions convexes · Nombres complexes — norme subordonnée, mesure de Lozinskiĭ, borne atteinte sur la sphère unité, monotonie d'un taux d'accroissement, majoration de la partie réelle des valeurs propres

Partie III — Normes et mesures de Lozinskiĭ associées p. 5–6

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Théorème spectral · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Matrices orthogonales et rotations — norme euclidienne, matrice ${}^t\!A + A$ , partie symétrique d'une matrice, plus grande valeur propre, norme transportée par une matrice inversible

Partie IV — Un critère de stabilité en degré 3 p. 6–7

Racines et relations coefficients-racines · Stabilité des équilibres · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Matrices remarquables · Nombres complexes — critère de Routh-Hurwitz, polynôme de degré 3, relations coefficients-racines, racine réelle, matrice compagnon, conjugaison par une matrice diagonale

Partie V — Exemple de système différentiel stable p. 7

Systèmes différentiels linéaires · Stabilité des équilibres · Diagonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — système différentiel $X' = CX$ , diagonalisation dans $\mathbb{C}$ , solutions tendant vers $0$ , valeurs propres de partie réelle négative

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Matrices d'une application linéaire Flot d'un champ de vecteurs Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Applications linéaires continues et dual topologique Compacité Dérivabilité Espaces de Hilbert et théorème de projection Le groupe linéaire et l'inversion des matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0