AnnalesÉcoles d'ingénieurs

CCINP PC 2019 — Mathématiques

Polynômes de Laguerre et quadrature de Gauss, équation différentielle, marche aléatoire sur trois points · 8 pages

Le premier exercice munit $\mathbb{R}_n[X]$ du produit scalaire $(P \mid Q) = \int_0^{+\infty} P(t)Q(t)e^{-t} \,\mathrm{d}t$ , construit les polynômes de Laguerre unitaires comme vecteurs propres de l'endomorphisme $\alpha(P) = XP'' + (1 - X)P'$ , montre qu'ils forment une base orthogonale, puis établit l'existence et l'unicité des poids de la quadrature de Gauss associée via un système de Vandermonde. Le deuxième exercice résout l'équation $x^2(1 - x)y'' - x(1 + x)y' + y = 2x^3$ par recherche de solutions développables en série entière puis par le changement de fonction $z = (1/x - 1)y$ , avec recollement sur $\left]0, +\infty\right[$ . Le troisième étudie une chaîne de Markov sur trois points $A$ , $B$ , $C$ via les puissances d'une matrice, le nombre moyen de passages en $A$ et la loi du temps de premier passage en $B$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Polynôme de Laguerre et méthode de quadrature de Gauss p. 2–3

Polynômes de Laguerre · Diagonalisation · Quadrature numérique · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrales généralisées et intégrabilité · Matrices remarquables · Endomorphismes symétriques, théorème spectral — polynômes de Laguerre, produit scalaire intégral, endomorphisme autoadjoint, base orthogonale, quadrature de Gauss, matrice de Vandermonde, intégration par parties

Exercice 2 — Étude d'une équation différentielle p. 4–5

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières — solution développable en série entière, rayon de convergence, changement de fonction inconnue, raccordement de solutions, équation homogène associée

Exercice 3 — Étude d'une marche aléatoire p. 6–7

Chaînes de Markov · Loi géométrique · Espérance, variance, moments · Conditionnement et indépendance · Calcul matriciel — matrice de transition, puissances d'une matrice, temps de premier passage, nombre moyen de passages, variable indicatrice, probabilités conditionnelles

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Matrices d'une application linéaire Théorème du point fixe de Banach Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités