AnnalesÉcoles d'ingénieurs

CCINP PSI 2012 — Maths 2

Matrices stochastiques à coefficients strictement positifs · 8 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet étudie les matrices réelles à coefficients strictement positifs dont chaque ligne est de somme $1$ . Pour $n = 3$ , il montre que si les valeurs propres autres que $1$ sont $\lambda$ et son conjugué, alors $\lambda$ est dans l'intérieur $T$ du triangle de sommets $1, j, j^2$ , et réciproquement construit pour un tel $\lambda$ une matrice circulante $A = P(J)$ qui convient. En dimension $n$ , il prouve que $1$ est valeur propre, que toute valeur propre est de module au plus $1$ avec égalité seulement pour $1$ , que le sous-espace propre de la transposée pour $1$ est une droite engendrée par un vecteur de probabilité $\Omega$ à coefficients strictement positifs, et que $1$ est valeur propre simple.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Caractérisation géométrique pour $n = 3$ p. 2–4

Matrices stochastiques et bistochastiques · Nombres complexes · Matrices remarquables · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Géométrie affine et euclidienne · Polynômes d'endomorphismes — matrice stochastique, triangle de sommets $1$ , $j$ , $j^2$ , matrice circulante, matrice de permutation $J$ , trace de $A^2$ , racines cubiques de l'unité

Partie II — Éléments propres d'une matrice stochastique positive p. 4–6

Matrices stochastiques et bistochastiques · Théorème de Perron-Frobenius · Localisation des valeurs propres · Espaces vectoriels normés · Dualité · Applications linéaires et rang — valeur propre $1$ , localisation des valeurs propres, vecteur propre positif, loi stationnaire, valeur propre simple, norme pondérée, rang de la transposée

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces de Hilbert et théorème de projection Espaces vectoriels et sous-espaces Applications linéaires Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Espace dual Théorème du rang

CCINP PSI 2012 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Caractérisation géométrique pour n=3n = 3 p. 2–4

Partie II — Éléments propres d'une matrice stochastique positive p. 4–6

Dans l'édifice

Notations et Partie I — Caractérisation géométrique pour $n = 3$ p. 2–4