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Centrale-Supélec MP 2016 — Maths 1

Matrices positives (im)primitives · 6 pages

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Le sujet étudie les matrices positives primitives (une puissance est strictement positive) et irréductibles à l'aide de la notion de chemin dans une matrice. Il montre que les puissances d'une matrice de rayon spectral strictement inférieur à $1$ tendent vers $0$ , prouve via la matrice de Wielandt que l'indice de primitivité est au plus $n^2 - 2n + 2$ et que cette borne est atteinte, puis établit que $(A/r)^m$ converge vers le projecteur $x y^\top$ et que le rayon spectral d'une matrice primitive est valeur propre simple. Il caractérise enfin l'irréductibilité et démontre que le coefficient d'imprimitivité est le pgcd des écarts $k_i$ entre $n$ et les exposants des monômes non nuls du polynôme caractéristique $X^n + c_1 X^{n-k_1} + \cdots$ et le pgcd des longueurs des circuits (théorème de Romanovsky).

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie I — Si $\rho(A) < 1$ , alors $A^k$ tend vers $0$ p. 1–2

Rayon spectral · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Trigonalisation · Normes équivalentes — norme sous-multiplicative, rayon spectral, réduite triangulaire, conjugaison par $\operatorname{diag}(1, \delta, \dots, \delta^{n-1})$ , convergence des puissances d'une matrice

Partie II — Chemins dans les matrices positives p. 2

Matrices positives et stochastiques · Graphes · Calcul matriciel — chemin dans une matrice, chemin élémentaire, circuit élémentaire, coefficients des puissances de $A$ , récurrence sur la longueur

Partie III — Matrices primitives et indice de primitivité p. 2–3

Matrices positives et stochastiques · Graphes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Coefficients binomiaux · Rayon spectral — matrice primitive, indice de primitivité, matrice de Wielandt, borne $n^2 - 2n + 2$ , polynôme $X^n - X - 1$ , plus court circuit

Partie IV — Étude des puissances d'une matrice primitive p. 3–4

Théorème de Perron-Frobenius · Matrices positives et stochastiques · Rayon spectral · Applications linéaires et rang · Trigonalisation · Dualité — valeur propre dominante, vecteur propre strictement positif, projecteur de rang 1 $x y^\top$ , valeur propre simple, limite de $(A/r)^m$

Partie V — Matrices carrées positives irréductibles p. 4

Matrices positives et stochastiques · Graphes · Théorème de Perron-Frobenius — matrice irréductible, graphe fortement connexe, matrice $(I + A)^{n-1}$ , condition suffisante de primitivité, coefficient diagonal non nul

Partie VI — Le coefficient d'imprimitivité p. 5–6

Théorème de Perron-Frobenius · Matrices positives et stochastiques · Racines et relations coefficients-racines · Groupe symétrique · Déterminants · PGCD, Bézout, Gauss · Nombres complexes · Graphes — matrice imprimitive, coefficient d'imprimitivité, théorème de Romanovsky, pgcd des longueurs de circuits, fonctions symétriques élémentaires, décomposition en cycles

Dans l'édifice

Applications linéaires continues et dual topologique Spectre premier d'un anneau Matrices d'une application linéaire Normes en dimension finie Déterminant d'un endomorphisme Ensembles finis et principe des tiroirs Applications linéaires Théorème du rang Espace dual Anneaux de polynômes Groupe symétrique et signature Formes multilinéaires alternées PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle