AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Centrale-Supélec MP 2017 — Maths 2

Variables aléatoires décomposables et infiniment divisibles · 4 pages

Le sujet étudie la représentation de la loi d'une variable aléatoire comme loi d'une somme de variables indépendantes. Il caractérise les lois binomiales et uniformes sur $[\![0, n - 1]\!]$ décomposables ( $n$ non premier) par factorisation des fonctions génératrices en polynômes à coefficients positifs, montre qu'une variable bornée infiniment divisible est constante et que les lois de Poisson et les sommes $\sum iX_i$ de variables de Poisson indépendantes sont infiniment divisibles. Il établit enfin, à l'aide d'une série entière auxiliaire $H_X$ telle que $G_X = \exp(H_X)$ , qu'une variable entière avec $P(X = 0) > 0$ est infiniment divisible si et seulement si ses coefficients $\lambda_k$ sont positifs, si et seulement si elle a la loi d'une somme $\sum iX_i$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Variables aléatoires entières décomposables p. 1–2

Fonctions génératrices · Couples et sommes de variables aléatoires · Polynômes · Lois de Bernoulli et binomiale · Arithmétique des entiers · Variables aléatoires et lois usuelles — fonction génératrice, somme de variables indépendantes, loi uniforme discrète, division euclidienne, polynômes à coefficients positifs, factorisation

Partie II — Variables infiniment divisibles : exemples p. 2–3

Loi de Poisson · Fonctions génératrices · Lemme de Borel-Cantelli et événements asymptotiques · Espérance, variance, moments · Convergence uniforme et normale · Lois de Bernoulli et binomiale — loi infiniment divisible, variable bornée, somme de lois de Poisson, loi de Poisson composée, série de variables aléatoires, convergence presque sûre

Partie III — Variables entières infiniment divisibles : étude générale p. 3–4

Séries entières · Fonctions génératrices · Loi de Poisson · Loi géométrique · Suites numériques — série entière auxiliaire, rayon de convergence, logarithme de la fonction génératrice, relation de récurrence, caractérisation des lois infiniment divisibles, loi géométrique

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Anneaux de polynômes Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique Lois de Poisson et loi exponentielle Lemmes de Borel-Cantelli Loi du 0-1 de Kolmogorov Espérance, variance et inégalités Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ