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Centrale-Supélec MP 2022 — Maths 1

Exemples de contraintes symplectiques linéaires · 5 pages

Le sujet introduit les formes symplectiques sur un espace de dimension finie (qui imposent une dimension paire) et le groupe symplectique $\mathrm{Sp}_{2m}(\mathbb{R})$ des matrices $M$ telles que $M^\top J M = J$ . Il montre par deux méthodes que toute matrice symplectique est de déterminant $1$ : par la décomposition polaire et le commutant de $J$ , puis en écrivant tout endomorphisme symplectique d'un espace de dimension $2m$ comme composée d'au plus $4m$ transvections symplectiques, ce qui donne aussi la connexité par arcs de $\mathrm{Sp}_{2m}(\mathbb{R})$ . Il termine par le théorème de non-tassement linéaire : une boule de rayon $R$ s'envoie symplectiquement dans un cylindre de rayon $R'$ si et seulement si $R \leqslant R'$ , alors qu'un endomorphisme de déterminant $1$ peut toujours envoyer la boule unité dans un cylindre arbitrairement fin.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Préliminaires p. 1

Matrices symétriques positives · Calcul matriciel — racine carrée d'une matrice symétrique positive, matrice $M^\top M$ , forme bilinéaire

Partie II — Objets symplectiques p. 1–3

Groupe symplectique · Dualité · Formes bilinéaires et quadratiques · Matrices par blocs · Sous-espaces stables — forme symplectique, orthogonal symplectique, matrice antisymétrique, groupe symplectique, matrice $J$ , dimension paire

Partie III.A à III.C — Déterminant d'une matrice symplectique par la décomposition polaire p. 3

Groupe symplectique · Matrices orthogonales et rotations · Déterminants · Matrices par blocs · Matrices symétriques positives · Compacité — décomposition polaire, commutant, $\mathrm{Sp}_2(\mathbb{R}) = \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ , groupe orthogonal, sous-groupe compact

Partie III.D — Génération du groupe symplectique par les transvections p. 3–4

Groupe symplectique · Applications linéaires et rang · Connexité · Sous-espaces stables · Déterminants — transvection symplectique, générateurs d'un groupe, connexité par arcs du groupe symplectique, récurrence sur la dimension

Partie IV — Plongements symplectiques linéaires p. 5

Groupe symplectique · Géométrie affine et euclidienne · Réduction des endomorphismes · Espaces vectoriels normés — théorème de non-tassement, boule euclidienne, cylindre symplectique, valeurs propres complexes, $\mathrm{SL}_{2m}(\mathbb{R})$

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Espace dual Applications linéaires Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Compacité Théorème du rang Caractérisations de la connexité Espaces vectoriels et sous-espaces Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique