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Centrale-Supélec MPI 2026 — Maths 1

Sur quelques sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ · 6 pages

Le sujet caractérise d'abord les sous-groupes finis de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ et de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ (groupes cycliques et diédraux), puis montre qu'un sous-groupe de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ est fini si et seulement s'il est d'exposant fini, si et seulement si l'ensemble de ses traces est fini. Il établit ensuite qu'un sous-groupe compact de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ préserve un produit scalaire, grâce à l'ellipsoïde de déterminant maximal et à la stricte log-concavité du déterminant sur les matrices symétriques définies positives. Il termine par la croissance polynomiale de degré 4 du groupe de Heisenberg discret.

Le sujet, partie par partie

Partie A I–II — Sous-groupes finis de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ et $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ p. 1–2

Groupes cycliques et ordre · Matrices orthogonales et rotations · Groupes · Groupes de matrices — groupe diédral, groupe cyclique, exposant d'un groupe, matrices de rotation

Partie A III — Sous-groupes finis de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ p. 2

Groupes de matrices · Matrices orthogonales et rotations · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Calcul matriciel — réduction des matrices orthogonales, matrice de Gram, produit scalaire $\operatorname{tr}(A^\top B)$ , exposant fini

Partie B — Sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ p. 3–4

Matrices symétriques positives · Compacité · Groupes de matrices · Fonctions convexes · Déterminants · Endomorphismes symétriques, théorème spectral — ellipsoïde de John, log-concavité du déterminant, ordre de Loewner, sous-groupe compact, matrice symétrique définie positive

Partie C — Croissance du groupe de Heisenberg discret p. 4–5

Groupes · Dénombrement et combinatoire · Groupes de matrices · Équivalents et comparaison — groupe de Heisenberg, croissance polynomiale, longueur des mots, partie génératrice

Dans l'édifice

Sous-groupes Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire Compacité Dérivabilité Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Suites réelles et limites