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Centrale-Supélec PSI 2012 — Maths 2

Image numérique d'une matrice et inégalités sur les déterminants · 3 pages

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Le sujet étudie l'ensemble $R(A)$ des valeurs ${}^t\!XAX$ pour $X$ unitaire : il contient les valeurs propres réelles et la diagonale, il est un intervalle, et une matrice symétrique a une trace dans $R(A)$ si et seulement si elle est orthogonalement semblable à une matrice de diagonale $(\operatorname{Tr} A, 0, \ldots, 0)$ . Pour les matrices symétriques $2 \times 2$ , il classe les coniques ${}^t\!XAX = 1$ , majore $\operatorname{Tr}(AB)$ , établit une inégalité sur $\det(A + B)$ avec cas d'égalité et montre qu'une suite croissante majorée converge. Il prouve enfin, par réduction simultanée, que $\det(A + B)$ est au moins $\det A + \det B$ et la log-concavité du déterminant sur les matrices définies positives.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Généralités p. 1–2

Calcul matriciel · Matrices orthogonales et rotations · Ensembles convexes · Continuité · Matrices par blocs · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Réduction des endomorphismes — image numérique, champ des valeurs, trace nulle, matrice orthogonale, récurrence sur la dimension, diagonale d'une matrice

Partie II — Matrices symétriques de format $(2, 2)$ p. 2–3

Matrices symétriques positives · Coniques et quadriques · Inégalités classiques · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Théorème spectral · Suites numériques — ordre de Loewner, ellipse, hyperbole, inégalité sur la trace, déterminant d'une somme, cas d'égalité, suite croissante majorée de matrices

Partie III — Matrices symétriques définies positives p. 3

Matrices symétriques positives · Déterminants · Théorème spectral · Fonctions convexes · Inégalité arithmético-géométrique — réduction simultanée, factorisation $A = {}^t\!YY$ , matrice définie positive, superadditivité du déterminant, log-concavité du déterminant, inégalité de Young

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Théorème de Hahn-Banach Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Espaces de Hilbert et théorème de projection Déterminant d'un endomorphisme Espaces vectoriels et sous-espaces Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Formes multilinéaires alternées Dérivabilité