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Centrale-Supélec PSI 2018 — Maths 1

Autour des matrices de Toeplitz · 4 pages

Le sujet étudie les matrices de Toeplitz : dimension de leur espace, réduction en taille 2 et éléments propres des matrices tridiagonales via une récurrence linéaire d'ordre 2. Il montre que les matrices circulantes sont les polynômes en la matrice de permutation cyclique et sont diagonalisables. Il caractérise enfin les matrices cycliques (semblables à une matrice compagnon), décrit leur commutant, et prouve, grâce à l'opérateur de Sylvester $X \mapsto NX - XN$ , que toute matrice cyclique est semblable à une matrice de Toeplitz.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Généralités et quelques exemples p. 1–2

Matrices remarquables · Diagonalisation · Suites récurrentes linéaires · Espaces vectoriels et dimension · Nombres complexes · Polynômes d'endomorphismes — matrice de Toeplitz, matrice tridiagonale, récurrence linéaire d'ordre 2, racines de l'unité, valeurs propres, matrices semblables

Partie II — Matrices circulantes p. 2–3

Matrices remarquables · Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Nombres complexes · Polynômes — matrice circulante, matrice de permutation cyclique, matrice de Fourier, polynôme annulateur, division euclidienne, racines $n$ -ièmes de l'unité

Partie III.A — Endomorphismes et matrices cycliques p. 3

Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Déterminants — endomorphisme cyclique, matrice compagnon, vecteur cyclique, commutant, déterminant de Vandermonde, matrice nilpotente

Parties III.B et III.C — Calcul matriciel et opérateur de Sylvester p. 4

Calcul matriciel · Nilpotents, Jordan, Dunford · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Applications linéaires et rang — diagonales d'une matrice, opérateur de Sylvester, adjoint, supplémentaire orthogonal, produit scalaire $\operatorname{tr}({}^t\!AB)$ , similitude

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Suites réelles et limites Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Applications linéaires Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Théorème du rang