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Centrale-Supélec PSI 2023 — Maths 2

Quelques applications de la formule de Stirling · 5 pages

Le sujet calcule l'intégrale de Gauss au moyen d'une intégrale à paramètre, démontre la formule de Stirling par convergence dominée à partir de $n! = \int t^n e^{-t}\,\mathrm{d}t$ , puis le raffinement $n! = \sqrt{2\pi n}(n/e)^n(1 + 1/(12n) + q_n/n)$ avec $q_n \to 0$ par sommation des équivalents de restes. Il applique ces résultats à la marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$ : la probabilité de ne jamais revenir en $0$ vaut $|p-q|$ (séries entières $A$ et $B$ des retours), puis, dans le cas symétrique, le principe de réflexion et des sommes de Riemann établissent la loi de l'arcsinus pour le dernier passage en $0$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Intégrale de Gauss p. 1

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité — intégrale de Gauss, dérivation sous l'intégrale, changement de variable affine

Partie II — Formule de Stirling p. 1–2

Formule de Stirling · Convergence dominée · Équivalents et comparaison · Comparaison série-intégrale · Séries numériques · Fonctions Gamma et Bêta · Méthode de Laplace et phase stationnaire — formule de Stirling, théorème de convergence dominée, sommation des équivalents, restes de séries convergentes, raffinement de Stirling

Partie III — Deux séries entières et une marche aléatoire p. 3–4

Marches aléatoires · Séries entières · Lois de Bernoulli et binomiale · Coefficients binomiaux · Informatique et algorithmique — marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$ , probabilité de non-retour, premier retour à l'origine, rayon de convergence, simulation Python

Partie IV — Loi de l'arcsinus p. 4–5

Marches aléatoires · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Nombres de Catalan et chemins · Formule de Stirling · Coefficients binomiaux · Dénombrement et combinatoire — loi de l'arcsinus, principe de réflexion, dernier passage en $0$ , chemins, sommes de Riemann

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Intégrale de Riemann Suites réelles et limites Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Dérivabilité Indépendance d'événements et de tribus Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Ensembles finis et principe des tiroirs Théorème de définition par récurrence Sommes, produits et puissances