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e3a-Polytech PC 2013 — Mathématiques

Intégrales liées à $1/\operatorname{ch}$ et développements en série · 8 pages

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Le sujet calcule les intégrales $C_n$ et $S_n$ de $t^n/\operatorname{ch}(t)$ et $t^n/\operatorname{sh}(t)$ sur $\left]0, +\infty\right[$ sous forme de séries, par développement de $1/(2\operatorname{ch} t)$ et $1/(2\operatorname{sh} t)$ et intégration terme à terme, et retrouve $C_0 = \pi/2$ et $S_1 = \pi^2/4$ par la série de Fourier d'un créneau. Il étudie ensuite l'intégrale à paramètre $F(x) =$ intégrale de $e^{ixt}/\operatorname{ch}(t)$ , développable en série entière de rayon 1, et $H(x) =$ intégrale de $\cos(xt)/\operatorname{ch}(t)$ , qu'il exprime comme une série puis évalue en $\pi/(2\operatorname{ch}(\pi x/2))$ grâce à la série de Fourier de $\operatorname{sh}(xt)$ . Il résout enfin l'équation $y'' - y = 1/\operatorname{ch}(t)$ et montre que $1/\operatorname{ch}$ , la solution paire valant $1$ en $0$ , et $\ln(\operatorname{ch})$ sont développables en série entière sur $\left]-1, 1\right[$ .

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie I — Intégrales et développements en série p. 2

Intégrales généralisées et intégrabilité · Interversion des limites · Séries de Fourier · Fonctions Gamma et Bêta · Équivalents et comparaison · Convergence des séries de Fourier — cosinus hyperbolique, intégration terme à terme, intégrale de $t^n e^{-t}$ , créneau impair, série de Fourier, intégrale de $1/\operatorname{ch}$

Partie II — Intégrales à paramètre p. 3

Intégrales à paramètre · Séries entières · Séries de Fourier · Convergence des séries de Fourier · Interversion des limites — intégrale à paramètre, transformée de Fourier de $1/\operatorname{ch}$ , rayon de convergence, intégration par parties, série de Fourier de $\operatorname{sh}(xt)$ , développement en série entière

Partie III — Étude d'une équation différentielle p. 4

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Suites numériques — équation $y'' - y = 1/\operatorname{ch}$ , variation des constantes, solution paire, inverse d'une série entière, produit de Cauchy, développement en série entière de $\ln \operatorname{ch}$

Dans l'édifice

Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Une série entière est holomorphe Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Suites réelles et limites Théorème de convergence dominée Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ