AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech PC 2019 — Maths 2

Calcul des intégrales à paramètre $\int e^{-t} \cos(tx)/\sqrt{t} \,\mathrm{d}t$ et $\int e^{-t} \sin(tx)/\sqrt{t} \,\mathrm{d}t$ · 4 pages

Sujet (PDF)

Le sujet étudie $U(x)$ et $V(x)$ , intégrales sur $\left]0, +\infty\right[$ de $e^{-t} \cos(tx)/\sqrt{t}$ et $e^{-t} \sin(tx)/\sqrt{t}$ . Il montre que $W = U + iV$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre, établit la positivité de $V$ par une série alternée d'intégrales sur $[n\pi, (n+1)\pi]$ , puis passe en module et argument $(R, T)$ pour obtenir des expressions explicites de $U$ et $V$ , retrouvées ensuite en résolvant directement l'équation de $W$ ; il termine par les intégrales analogues avec $\cos^n$ et $\sin^n$ .

Le sujet, partie par partie

Question préliminaire et questions 1 à 5 — Intégrabilité, définition et équation différentielle de $U + iV$ p. 2

Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Équations différentielles linéaires · Nombres complexes · Intégrale sur un segment — intégrabilité de $t^\alpha e^{-\lambda t}$ , primitive de $1/(x + ia)$ , intégrale de Gauss, changement de variable, dérivation sous le signe intégrale, intégration par parties, parité

Questions 6 à 8 — Une série alternée d'intégrales p. 2–3

Séries alternées · Intégrales généralisées et intégrabilité · Suites numériques — critère des séries alternées, suite décroissante, intégrale sur une demi-période, sommes partielles, signe de la somme

Questions 9 à 13 — Module, argument et expressions explicites de $U$ et $V$ p. 3

Équations différentielles linéaires · Intégrales à paramètre · Nombres complexes · Dérivabilité · Convergence dominée — module et argument, arctangente, prolongement par continuité, équation différentielle linéaire du premier ordre, linéarisation de $\cos^2$ et $\sin^2$ , limite d'une suite d'intégrales

Dans l'édifice

Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites, séries et parties compactes de ℂ Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité