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e3a-Polytech PSI 2013 — Mathématiques

Matrices circulantes et intégrale de $\ln(1 - 2x\cos t + x^2)$ · 5 pages

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Le sujet calcule $h(x)$ , intégrale sur $[0, \pi]$ de $\ln(1 - 2x\cos t + x^2)$ , par dérivation sous le signe intégrale et le changement de variable $u = \tan(t/2)$ . Il diagonalise ensuite les matrices circulantes $C_\alpha$ , dont les valeurs propres sont les $q(\omega^\ell)$ avec $\omega = e^{2i\pi/n}$ , calcule le déterminant $(1 - a^n)^{n-1}$ d'une matrice circulante de puissances de $a$ , et retrouve $h$ par des sommes de Riemann en passant à la limite dans $(\det A)^{1/n}$ .

Le sujet, partie par partie

Questions préliminaires — Racines de l'unité et polynômes de matrices p. 2–3

Nombres complexes · Diagonalisation · Déterminants · Polynômes — racines $n$ -ièmes de l'unité, factorisation de $X^n - 1$ , somme des puissances d'une racine de l'unité, déterminant produit des valeurs propres, polynôme de matrice diagonalisable

Partie A — Une intégrale à paramètre p. 3

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrale sur un segment · Nombres complexes — dérivation sous le signe intégrale, changement de variable tangente de l'arc moitié, fonction paire, intégrale de $\ln(1 - 2x\cos t + x^2)$

Partie B — Matrices circulantes p. 4

Matrices remarquables · Diagonalisation · Déterminants · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Polynômes d'endomorphismes — matrice circulante, matrice de permutation circulaire, opérations élémentaires sur les colonnes, valeurs propres d'une matrice circulante, polynôme caractéristique

Partie C — Matrice circulante associée à une fonction p. 5

Matrices remarquables · Nombres complexes · Déterminants — transformée de Fourier discrète, valeurs propres d'une matrice circulante, somme géométrique, déterminant d'une matrice circulante

Partie D — Passage à la limite p. 5

Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Intégrales à paramètre · Déterminants — sommes de Riemann, logarithme du module, limite de la racine $n$ -ième d'un déterminant, fonction continue sur un segment

Dans l'édifice

Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Anneaux de polynômes Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Applications linéaires