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Mines-Ponts MPI 2025 — Maths 2

Critère de Schur-Cohn et généralisation au cas non inversible · 7 pages

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Pour un polynôme réel scindé $p$ , le sujet construit la matrice symétrique $J(p)$ à l'aide de la matrice de décalage et du polynôme réciproque, et montre que le nombre de racines de $p$ dans $\left]-1, 1\right[$ égale le nombre de valeurs propres strictement positives de $J(p)$ lorsque celle-ci est inversible (critère de Schur-Cohn). Il caractérise l'inversibilité par l'absence de racines « stables » et propose une méthode générale de comptage dans le cas non inversible, par passage au polynôme dérivé et argument de continuité des valeurs propres.

Le sujet, partie par partie

A. Propriétés du polynôme réciproque et stabilité des racines p. 2–4

Racines et relations coefficients-racines · Polynômes · Dérivabilité — polynôme réciproque, racines stables, PGCD de polynômes, polynôme scindé, polynôme dérivé

B. Liberté d'une famille de polynômes p. 4–5

Polynômes · Espaces vectoriels et dimension · Fractions rationnelles · Applications linéaires et rang — famille libre, fractions rationnelles, noyau d'un endomorphisme

C. Expression de la matrice $J(p)$ p. 5

Matrices remarquables · Polynômes d'endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford — matrice de décalage, matrice nilpotente, factorisation $V D V^\top$ , base de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ , matrice de Schur-Cohn

D. Cas où $J(p)$ est inversible : critère de Schur-Cohn p. 5–6

Théorème spectral · Formes bilinéaires et quadratiques · Espaces vectoriels et dimension — critère de Schur-Cohn, loi d'inertie de Sylvester, matrices congruentes, valeurs propres strictement positives, dimension maximale d'un sous-espace positif

E. Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité p. 6

Calcul matriciel · Polynômes d'endomorphismes · Polynômes — matrice inversible, racine stable, polynôme annulateur d'un vecteur

F. Un cas particulier p. 6–7

Théorème spectral · Racines et relations coefficients-racines · Continuité · Dérivabilité · Développements asymptotiques — continuité des valeurs propres, dérivée d'une fonction matricielle, perturbation des racines, développement limité

G. Méthode générale p. 7

Racines et relations coefficients-racines · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Polynômes — comptage des racines dans $\left]-1, 1\right[$ , décomposition $p = f g$ , PGCD $p \wedge p_0$ , racines stables de multiplicité 1

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Dérivabilité Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Corps des fractions d'un anneau intègre Applications linéaires Théorème du rang Matrices d'une application linéaire Espaces de Hilbert et théorème de projection Espace dual Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine