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Mines-Ponts PC 2017 — Maths 1

Marche aléatoire dans un labyrinthe · 6 pages

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Un rat se déplace au hasard entre cinq salles reliées par des tubes ; la loi de sa position vérifie $X_{k+1} = B X_k$ . Le sujet démontre un théorème ergodique en moyenne : si $\|u(x)\| \leqslant \|x\|$ , les moyennes de Cesàro $(I + u + \dots + u^{k-1})/k$ convergent vers le projecteur sur $\ker(u - I)$ parallèlement à $\operatorname{Im}(u - I)$ . Il l'applique aux matrices stochastiques dont une puissance est à coefficients strictement positifs ( $1$ valeur propre simple, unique loi invariante à coefficients strictement positifs), puis détermine la loi stationnaire du rat.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Premiers pas p. 2–3

Chaînes de Markov · Probabilités totales et formule de Bayes · Conditionnement et indépendance · Calcul matriciel — marche aléatoire sur un graphe, matrice de transition, formule des probabilités totales, loi invariante, indépendance

Partie II — Convergence dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ p. 3–4

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Applications linéaires et rang · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Espaces vectoriels normés — moyennes de Cesàro, théorème ergodique, projecteur, somme directe noyau image, contraction large, endomorphisme de norme au plus 1

Partie III — Matrices stochastiques p. 4–5

Matrices stochastiques et bistochastiques · Théorème de Perron-Frobenius · Ensembles convexes · Topologie, compacité, connexité · Réduction des endomorphismes — matrice stochastique, matrice primitive, norme infinie, valeur propre simple, loi stationnaire, matrice de rang 1

Partie IV — Application au labyrinthe p. 6

Chaînes de Markov · Matrices stochastiques et bistochastiques — loi stationnaire, probabilité invariante, convergence en moyenne de Cesàro, labyrinthe

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Matrices d'une application linéaire Sommation d'Abel et intégrales impropres Applications linéaires Théorème du rang Applications linéaires continues et dual topologique Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Théorème de Hahn-Banach Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ Déterminant d'un endomorphisme