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Mines-Ponts PC 2025 — Maths 2

Étude des séries congruo-harmoniques alternées · 7 pages

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Le sujet étudie les séries alternées de terme général $(-1)^k/(pk+q)$ . Il les exprime comme l'intégrale de $t^{q-1}/(1+t^p)$ sur $[0, 1]$ , calcule leur somme explicitement dans trois familles de cas grâce à une décomposition en éléments simples faisant intervenir les racines de $-1$ , puis évalue la probabilité qu'un couple d'entiers tiré au hasard relève de ces cas, et termine par la vitesse de convergence des sommes partielles.

Le sujet, partie par partie

Préliminaires p. 2–3

Séries alternées · Intégrale sur un segment — critère des séries alternées, série de terme $(-1)^k/(k+1)$ , $\ln 2$ , sommes partielles

1. Expression de $S(p,q)$ sous la forme d'une intégrale p. 3

Intégrales à paramètre · Séries alternées · Théorèmes de convergence intégrale — intégrale à paramètre, somme géométrique, reste intégral, série congruo-harmonique

2. Calcul des $S(p,q)$ dans trois cas particuliers p. 4–5

Fractions rationnelles · Nombres complexes · Intégrale sur un segment — décomposition en éléments simples, racines $p$ -ièmes de $-1$ , sommes trigonométriques, calcul de primitives, valeur exacte d'une série

3. Quelques calculs de probabilités p. 5–6

Espaces probabilisés · Équivalents et comparaison · Arithmétique des entiers · Comparaison série-intégrale — loi uniforme sur $\{1, \dots, n\}$ , divisibilité, série harmonique, équivalent $\ln n$ , tirage avec remise

4. Vitesse de convergence des $S(p,q)$ p. 6–7

Équivalents et comparaison · Séries alternées · Intégrales à paramètre · Analyse numérique — vitesse de convergence, convergence linéaire, infra-linéaire, équivalent du reste, changement de variable

Dans l'édifice

Suites, séries et parties compactes de ℂ Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)Lemme de Fatou Corps des fractions d'un anneau intègre Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Suites réelles et limites Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique Théorème du point fixe de Banach