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Mines-Ponts PSI 2015 — Maths 1

Méthode de Stein · 6 pages

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Le sujet caractérise la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ par l'identité $\lambda \sum f(n+1)p_n = \sum n f(n)p_n$ valable pour toute fonction bornée $f$ , puis résout l'équation de Stein $\lambda f(n+1) - nf(n) = h(n) - \sum h(k)p_k$ et montre que ses solutions sont bornées et que leurs accroissements sont majorés par $(1 - e^{-\lambda})/\lambda$ fois l'oscillation de $h$ . Il en déduit que la distance en variation totale entre la loi d'une somme $S$ de variables de Bernoulli indépendantes de paramètres $r_k$ et la loi de Poisson de paramètre $\lambda = \sum r_k$ est majorée par $((1 - e^{-\lambda})/\lambda) \sum r_k^2$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Préliminaires p. 2

Loi de Poisson · Séries numériques · Espaces probabilisés · Lois de Bernoulli et binomiale — distance en variation totale, loi de probabilité sur $\mathbb{N}$ , série exponentielle, fonctions bornées

Partie II — Caractérisation de la loi de Poisson p. 3

Méthode de Stein · Loi de Poisson · Séries numériques · Espérance, variance, moments — caractérisation de la loi de Poisson, identité de Stein, choix de fonctions indicatrices, méthode de Stein

Partie III — Résolution de l'équation de Stein p. 3–4

Méthode de Stein · Loi de Poisson · Séries numériques · Suites numériques — équation de Stein, relation de récurrence, solution bornée, reste d'une série exponentielle

Partie IV — Propriété de Lipschitz p. 4–5

Méthode de Stein · Loi de Poisson · Séries numériques · Inégalités classiques · Suites numériques — équation de Stein, accroissements d'une solution, fonction indicatrice d'un singleton, superposition des solutions, majoration uniforme

Partie V — Application probabiliste p. 6

Méthode de Stein · Loi de Poisson · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Espérance, variance, moments · Couples et sommes de variables aléatoires · Lois de Bernoulli et binomiale — approximation de Poisson, méthode de Stein, somme de variables de Bernoulli indépendantes, distance en variation totale, variables $W_k = S - X_k$

Dans l'édifice

Lois de Poisson et loi exponentielle Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne Espérance, variance et inégalités Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Indépendance d'événements et de tribus