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Mines-Ponts PSI 2018 — Maths 2

Transformation d'Ornstein-Uhlenbeck · 7 pages

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Le sujet définit, pour les fonctions continues à croissance lente, le semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck $P_t f(x) = \int f\big(e^{-t}x + \sqrt{1-e^{-2t}}\, y\big)\, e^{-y^2/2}\, \mathrm{d}y/\sqrt{2\pi}$ , en étudie la continuité en $t$ , la limite gaussienne quand $t \to +\infty$ et la régularité en $x$ par dérivation sous l'intégrale. Il calcule le générateur infinitésimal $Lf = f'' - x f'$ , puis, par la méthode de Stein et la formule de Taylor avec reste intégral, montre que pour des variables indépendantes de même loi centrées réduites à moment d'ordre 3 fini, l'écart entre $\mathbb{E}(f(S))$ et l'intégrale gaussienne de $f$ est en $O(1/\sqrt{n})$ : vitesse de convergence dans le théorème central limite.

Le sujet, partie par partie

I — Préliminaires p. 2–3

Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Polynômes — formule de Taylor avec reste intégral, intégrale de Gauss, changement de variable, intégrabilité, fonctions à croissance lente

II — Transformation d'Ornstein-Uhlenbeck p. 3–5

Intégrales à paramètre · Convergence dominée · Semi-groupes et générateurs · Intégrales généralisées et intégrabilité · Loi normale et vecteurs gaussiens — semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck, dérivation sous l'intégrale, continuité sous l'intégrale, domination, changement de variables, densité gaussienne

III — Générateur infinitésimal p. 5

Semi-groupes et générateurs · Intégrales à paramètre · Dérivabilité · Convergence dominée · Loi normale et vecteurs gaussiens — générateur infinitésimal, intégration par parties gaussienne, théorème de prolongement de classe $\mathcal{C}^1$ , opérateur d'Ornstein-Uhlenbeck

IV — Théorème central limite p. 6–7

Théorème central limite et convergence en loi · Espérance, variance, moments · Conditionnement et indépendance · Semi-groupes et générateurs · Loi normale et vecteurs gaussiens · Dérivabilité — méthode de Stein, vitesse de convergence, indépendance mutuelle, moment d'ordre 3, formule de Taylor, distance entre lois

Dans l'édifice

Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Anneaux de polynômes Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus La loi normale Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus