AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts PSI 2023 — Maths 2

Distance entre deux distributions de probabilités sur $\mathbb{N}$ · 7 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : archive officielle (ZIP)

Le sujet détermine la loi du nombre de points fixes d'une permutation aléatoire uniforme à l'aide de la série des dérangements ( $s(x)e^x = 1/(1-x)$ ), calcule son espérance et sa variance et montre sa convergence vers la loi de Poisson de paramètre $1$ . La distance en variation totale permet de quantifier cette convergence, en $O(2^n/(n+1)!)$ , puis, grâce au produit de convolution, d'obtenir $d_{\mathrm{VT}}(\mathcal{B}(n,\lambda), \mathcal{P}(n\lambda)) \leqslant n\lambda^2$ et $d_{\mathrm{VT}}(\mathcal{P}(\alpha), \mathcal{P}(\beta)) \leqslant |\beta-\alpha|$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Nombre de points fixes d'une permutation p. 2–4

Formule du crible et dérangements · Séries entières · Loi de Poisson · Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments · Groupe symétrique · Coefficients binomiaux — dérangements, série génératrice exponentielle, nombre de points fixes, loi limite de Poisson, fonction génératrice

Partie 2 — Convergence en variation totale p. 4–6

Loi de Poisson · Équivalents et comparaison · Séries numériques · Coefficients binomiaux · Lois de Bernoulli et binomiale — distance en variation totale, reste de la série exponentielle, vitesse de convergence

Partie 3 — Autres estimations de distances en variation totale p. 6–7

Loi de Poisson · Couples et sommes de variables aléatoires · Lois de Bernoulli et binomiale · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Familles sommables et produit de Cauchy — produit de convolution, somme de variables indépendantes, approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Dans l'édifice

Ensembles finis et principe des tiroirs Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Lois de Poisson et loi exponentielle Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Groupe symétrique et signature Suites réelles et limites Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Indépendance d'événements et de tribus Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne