AnnalesÉcoles d'ingénieurs

X-ENS MP 2014 — Maths A

Formes quadratiques sur un corps de caractéristique nulle et groupes orthogonaux · 5 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet étudie les formes quadratiques non dégénérées sur un corps de caractéristique nulle et leurs groupes d'isométries $\mathrm{O}(q)$ . Il établit l'existence de bases orthogonales, puis, sur $\mathbb{R}$ , la classification par la signature $(r, s)$ et des propriétés topologiques des groupes $\mathrm{O}_{r,s}$ : fermeture, compacité de $\mathrm{O}_{r,s} \cap \mathrm{O}(n)$ , et décomposition de $\mathrm{O}_{2,1}$ en quatre composantes connexes par arcs grâce aux rotations hyperboliques et à l'hyperboloïde à deux nappes. Il démontre enfin, via les réflexions $s_x$ , le théorème de simplification de Witt et la décomposition de Witt $q \cong q_{\mathrm{an}} \perp m \cdot h$ en partie anisotrope et plans hyperboliques.

Le sujet, partie par partie

Notations, définitions et préliminaires sur les formes quadratiques et les isométries p. 1–2

Formes bilinéaires et quadratiques · Déterminants · Groupes · Dualité — forme bilinéaire symétrique, forme non dégénérée, matrice d'une forme bilinéaire, isométrie, groupe orthogonal, orthogonal d'un vecteur

Première partie — Existence des bases orthogonales p. 3

Formes bilinéaires et quadratiques · Espaces vectoriels et dimension — base orthogonale, forme isotrope, forme anisotrope, plan hyperbolique, diagonalisation d'une forme quadratique, vecteur isotrope

Deuxième partie — Étude de $\mathrm{O}(q)$ quand $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ p. 3–4

Groupes de matrices · Formes bilinéaires et quadratiques · Connexité · Compacité · Matrices orthogonales et rotations · Groupes · Coniques et quadriques — signature, loi d'inertie de Sylvester, groupe $\mathrm{O}(r, s)$ , rotation hyperbolique, hyperboloïde à deux nappes, composantes connexes par arcs, sous-groupe fermé

Troisième partie — Somme orthogonale et théorème de Witt p. 5

Formes bilinéaires et quadratiques · Isométries et groupe orthogonal · Espaces vectoriels et dimension — somme orthogonale, réflexion, théorème de simplification de Witt, décomposition de Witt, indice de Witt, forme anisotrope

Dans l'édifice

Espace dual Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Caractérisations de la connexité Compacité