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X-ENS MP 2014 — Maths B

Groupe de Heisenberg, formule de Trotter et chemins de Carnot · 4 pages

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Le sujet munit l'espace des matrices $3\times 3$ triangulaires supérieures strictes de la loi $M \ast N = M + N + [M, N]/2$ et montre que l'exponentielle en fait un groupe isomorphe au groupe $H$ des matrices triangulaires supérieures unipotentes. Il établit la formule $\exp(A)\exp(B) = \exp(A + B + [A, B]/2)$ lorsque $A$ et $B$ commutent avec leur commutateur, puis la formule de Trotter $\exp(A + B) = \lim (\exp(A/n)\exp(B/n))^n$ . Enfin il étudie les chemins de Carnot dans $H$ , solutions d'une équation différentielle matricielle contrôlée, décrit la sphère de Carnot et encadre, à des constantes près, par $\sqrt{p^2 + q^2 + |r|}$ le temps $T$ nécessaire pour atteindre $\exp(M_{p,q,r})$ par un tel chemin.

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — Le groupe $(L, \ast)$ et son exponentielle p. 1–2

Groupes de Lie matriciels et algèbres de Lie · Exponentielle de matrices · Nilpotents, Jordan, Dunford · Groupes — groupe de Heisenberg, commutateur, matrices triangulaires supérieures strictes, isomorphisme de groupes, matrices unipotentes, centre d'un groupe

Deuxième partie — Formule de Baker-Campbell-Hausdorff et formule de Trotter p. 2–3

Groupes de Lie matriciels et algèbres de Lie · Exponentielle de matrices · Systèmes différentiels linéaires · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Développements asymptotiques — commutateur, formule de Baker-Campbell-Hausdorff, formule de Trotter, norme d'algèbre, morphisme de groupes, limite de $(I + D/n)^n$

Troisième partie — Chemins de Carnot et sphère de Carnot p. 3–4

Équations différentielles linéaires · Groupes de Lie matriciels et algèbres de Lie · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Exponentielle de matrices · Dérivabilité · Compacité — chemin de Carnot, sphère de Carnot, équation différentielle matricielle, théorie du contrôle, dilatations, prolongement par continuité

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Matrices d'une application linéaire Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Applications linéaires continues et dual topologique Dérivabilité Théorème de Cauchy-Lipschitz local Compacité