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X-ENS MP 2015 — Maths C

Méthode de Stein et théorème central limite quantitatif · 4 pages

Le sujet étudie l'équation de Stein $\varphi'(x) - x\varphi(x) = f(x) - \langle f\rangle$ , où $\langle f\rangle$ est l'intégrale de $f$ contre la gaussienne $G$ , et majore sa solution bornée et ses dérivées en fonction de $\|f\|_\infty$ et $\|f'\|_\infty$ . Il caractérise la convergence vers la loi normale par l'identité de Stein, puis en déduit pour $Z_n = (X_1 + \cdots + X_n)/\sqrt{n}$ , avec des $X_i$ indépendantes, centrées, réduites et bornées, une vitesse en $1/\sqrt{n}$ pour $E(f(Z_n))$ et en $O(n^{-1/4})$ pour $P(Z_n < a)$ . Une dernière partie établit des inégalités de concentration de type Hoeffding puis Bennett (fonction $\Phi(x) = (1 + x) \log(1 + x) - x$ ).

Le sujet, partie par partie

Partie I — L'équation de Stein p. 1–2

Méthode de Stein · Équations différentielles linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions spéciales · Intégrales à paramètre · Loi normale et vecteurs gaussiens — équation de Stein, intégrale de Gauss, densité gaussienne, variation de la constante, solution bornée, majoration des dérivées

Partie II — Caractérisation de la gaussienne p. 2–3

Méthode de Stein · Théorème central limite et convergence en loi · Intégrales généralisées et intégrabilité · Loi normale et vecteurs gaussiens · Convergence dominée — identité de Stein, intégration par parties, fonction troncature, convergence en loi, fonctions test régulières

Partie III — Vitesse de convergence dans le théorème central limite p. 3

Méthode de Stein · Théorème central limite et convergence en loi · Espérance, variance, moments · Dérivabilité · Loi normale et vecteurs gaussiens · Couples et sommes de variables aléatoires — vitesse de convergence, somme de variables indépendantes, formule de Taylor, variables aléatoires bornées, fonction de répartition gaussienne, méthode de Stein

Partie IV — Inégalités de concentration p. 4

Inégalités de concentration · Fonctions convexes · Espérance, variance, moments · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev — inégalité de Hoeffding, inégalité de Bennett, transformée de Laplace, inégalité de Chernoff, fonction génératrice des moments

Dans l'édifice

Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann La fonction zêta de Riemann et son prolongement Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée La loi normale Espérance, variance et inégalités Dérivabilité Indépendance d'événements et de tribus Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding