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X-ENS MP 2020 — Maths B

Grandes déviations, méthode de Laplace et phase stationnaire · 6 pages

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Le sujet établit d'abord un principe de grandes déviations pour la moyenne $S_n$ de variables de Rademacher : $(1/n) \log P(S_n \geqslant t)$ tend vers $\inf_{\lambda \geqslant 0} (\psi(\lambda) - \lambda t)$ , avec $\psi(\lambda) = \log \operatorname{ch} \lambda$ , par la borne de Chernoff et une pondération exponentielle. Il démontre ensuite la méthode de Laplace et en déduit la formule de Stirling, puis étudie les intégrales de Fresnel et obtient le développement de la phase stationnaire pour $\int g(x) \sin(t f(x)) \,\mathrm{d}x$ à $O(1/t)$ près.

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — Grandes déviations p. 3–4

Grandes déviations · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Espérance, variance, moments · Fonctions convexes — variables de Rademacher, inégalité de Chernoff, grandes déviations, théorème de Cramér, transformée de Legendre, changement de probabilité

Deuxième partie — Méthode de Laplace p. 4–5

Méthode de Laplace et phase stationnaire · Équivalents et comparaison · Formule de Stirling · Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre — méthode de Laplace, intégrale de Gauss, formule de Stirling, développement de Taylor, équivalent asymptotique

Troisième partie — Intégrales de Fresnel et phase stationnaire p. 5–6

Intégrales généralisées et intégrabilité · Développements asymptotiques · Séries entières · Développements limités — intégrales de Fresnel, méthode de la phase stationnaire, intégrale oscillante, intégration par parties, changement de variable

Dans l'édifice

Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne Dérivabilité Suites réelles et limites Intégrale de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de convergence dominée Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques