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X-ENS PC 2023 — Maths

Modèles matriciels de dynamique de populations · 7 pages

Le sujet montre d'abord qu'une matrice stochastique vérifiant une condition de minoration $P_{i,j} \geqslant c\nu_j$ est contractante pour la norme 1 sur les probabilités, d'où l'existence et l'unicité d'une probabilité invariante et une convergence géométrique en $2(1-c)^n$ . Il en déduit, pour une matrice positive $M$ vérifiant la même minoration et possédant une valeur propre $\lambda > 0$ à vecteur propre strictement positif, la convergence de $\lambda^{-n}M^n$ (résultat de type Perron-Frobenius), appliquée aux matrices de Leslie. Il étudie enfin un processus de branchement multitype dont la matrice des moyennes est $M$ : extinction presque sûre si $\lambda < 1$ et, si $\lambda > 1$ , convergence presque sûre vers $0$ de $W_n = \lambda^{-n}(X_n - \|X_n\|_1\pi)$ , où $\pi$ est le vecteur propre à gauche normalisé.

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — Contraction d'une matrice stochastique p. 2–3

Matrices stochastiques et bistochastiques · Points fixes et suites itératives · Séries numériques · Espaces vectoriels normés — probabilité invariante, condition de Doeblin, application contractante, norme 1, convergence géométrique

Deuxième partie — Matrices positives et matrices de Leslie p. 3–4

Théorème de Perron-Frobenius · Matrices stochastiques et bistochastiques · Racines et relations coefficients-racines · Matrices remarquables — vecteur propre strictement positif, matrice de Leslie, dynamique de populations, convergence de $\lambda^{-n} M^n$

Troisième partie — Processus de branchement multitype p. 4–6

Processus de branchement et urnes · Espérance, variance, moments · Conditionnement et indépendance · Covariance et corrélation — processus de Galton-Watson multitype, matrice des moyennes, variance d'une somme de variables indépendantes, moment d'ordre 2

Quatrième partie — Extinction et comportement asymptotique p. 6–7

Processus de branchement et urnes · Lemme de Borel-Cantelli et événements asymptotiques · Théorème de Perron-Frobenius · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Normes équivalentes · Projection orthogonale et moindres carrés — extinction presque sûre, lemme de Borel-Cantelli, convergence presque sûre, inégalité de Markov, convergence en probabilité

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Anneaux de polynômes Martingales et temps d'arrêt Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Lemmes de Borel-Cantelli Loi du 0-1 de Kolmogorov Espaces de Hilbert et théorème de projection