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X-ENS PC 2025 — Maths
Le sujet étudie les matrices de rang 1, puis l'effet d'une perturbation de rang 1 sur le déterminant et l'inverse d'une matrice (lemme du déterminant matriciel, formule de Sherman-Morrison). Pour une matrice symétrique, il établit l'entrelacement des valeurs propres de et de , calcule l'espérance du polynôme caractéristique pour une perturbation aléatoire, et conclut par une minoration de valeur propre.
Le sujet, partie par partie
Première partie — Matrices de rang 1 p. 3–4
Matrices remarquables · Applications linéaires et rang · Diagonalisation · Projection orthogonale et moindres carrés — matrice de rang 1, produit , trace, projecteur orthogonal, diagonalisabilité
Deuxième partie — Déterminant et inverse d'une perturbation de rang 1 p. 4
Déterminants · Matrices par blocs · Matrices remarquables — formule de Sherman-Morrison, lemme du déterminant matriciel, produit matriciel par blocs, inverse d'une matrice
Troisième partie — Valeurs propres d'une perturbation symétrique p. 4–5
Théorème spectral · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Déterminants · Dérivabilité · Continuité · Polynômes — théorème spectral, entrelacement des valeurs propres, polynôme caractéristique, base orthonormée de vecteurs propres, équation séculaire
Quatrième partie — Perturbation aléatoire de rang 1 p. 5–6
Espérance, variance, moments · Matrices et graphes aléatoires · Théorème spectral · Variables aléatoires et lois usuelles · Polynômes · Déterminants — espérance du polynôme caractéristique, loi uniforme, dérivée du polynôme caractéristique, matrice aléatoire
Cinquième partie — Minoration d'une valeur propre p. 6
Théorème spectral · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Déterminants · Calcul matriciel — trace de l'inverse, valeurs propres, entrelacement des valeurs propres