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X-ENS PSI 2024 — Maths

Fonctions de matrices définies par des séries entières · 9 pages

À une série entière de rayon $R$ et à une matrice $A$ de rayon spectral strictement inférieur à $R$ , le sujet associe une matrice $u(A)$ définie comme $Q(A)$ , où $Q$ est le polynôme d'interpolation d'Hermite qui coïncide avec la somme de la série et ses dérivées aux valeurs propres de $A$ , avec les multiplicités du polynôme minimal. Il étudie les propriétés de cette construction, la calcule pour les matrices diagonalisables à l'aide des polynômes de Lagrange et des projecteurs spectraux, puis pour un bloc de Jordan, une matrice de rang 1, la matrice de Fourier discrète et des séries issues de lois binomiale et géométrique.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Préliminaires p. 3–5

Séries entières · Réduction des endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Familles sommables et produit de Cauchy · Théorème spectral — rayon de convergence, rayon spectral, produit de Cauchy, série dérivée, matrice nilpotente, matrices symétriques qui commutent

Partie II — Fonctions de matrices p. 5–6

Polynômes d'endomorphismes · Interpolation polynomiale · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Racines et relations coefficients-racines · Séries entières — polynôme minimal, polynôme annulateur, interpolation d'Hermite, isomorphisme, valeurs propres racines du polynôme minimal, produit de Cauchy

Partie III — Cas des matrices diagonalisables p. 7

Diagonalisation · Interpolation polynomiale · Polynômes d'endomorphismes · Applications linéaires et rang — polynômes de Lagrange, projecteurs spectraux, matrices semblables, matrice diagonale, polynôme minimal scindé à racines simples

Partie IV — Applications à des cas particuliers p. 7–9

Matrices remarquables · Nilpotents, Jordan, Dunford · Nombres complexes · Lois de Bernoulli et binomiale · Loi géométrique · Fonctions génératrices — bloc de Jordan, matrice de rang 1, matrice de Fourier discrète, racines de l'unité, loi binomiale, loi géométrique

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme La demi-droite achevée et les sommes positives Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Anneaux de polynômes Théorème du rang Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition