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X-ENS PSI 2026 — Maths
Le sujet étudie dans quelle mesure une fonction convexe minorée est déterminée par la norme de son gradient, résultat dû à Boulmezaoud, Cieutat et Daniilidis. Après des généralités sur les fonctions convexes différentiables, il traite le cas d'une variable, puis celui des fonctions quadratiques associées à une matrice symétrique positive, et enfin un cas plus général à l'aide du système différentiel et d'estimations intégrales.
Le sujet, partie par partie
Notations et Partie I — Généralités sur les fonctions convexes et les fonctions minorées p. 2–4
Fonctions convexes · Calcul différentiel · Compacité · Points critiques et hessienne — fonction convexe, gradient, inégalité de convexité, minimum global, borne inférieure de la norme du gradient
Partie II — Le cas monodimensionnel p. 5
Fonctions convexes · Dérivabilité — dérivée croissante, fonction convexe minorée, carré de la dérivée
Partie III — Cas des fonctions quadratiques p. 5–6
Matrices symétriques positives · Formes bilinéaires et quadratiques · Applications linéaires et rang · Théorème spectral · Fonctions convexes — fonction quadratique, matrice symétrique positive, unicité de la racine carrée, noyau et image orthogonaux, injectivité et surjectivité
Partie IV — Un cas un peu plus général p. 6–8
Systèmes différentiels linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Calcul différentiel · Inégalités fonctionnelles · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Fonctions convexes — système différentiel linéaire, flot de gradient, inégalité de Hardy, décroissance exponentielle, intégrale généralisée