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Agrégation interne 2016 — Épreuve 1

Nombre de contact en dimension 8 et polynômes harmoniques zonaux · 5 pages

On note $\tau_n$ le nombre maximal de boules unité deux à deux disjointes ou tangentes et tangentes à la boule unité de $\mathbb{R}^n$ . Le sujet montre $\tau_2 = 6$ et exhibe en dimension 8 une configuration de 240 points de la sphère, d'où $\tau_8 \geqslant 240$ . Il étudie ensuite les polynômes homogènes harmoniques de degré $k$ sur la boule, leur invariance par le groupe orthogonal, la droite des éléments invariants par le stabilisateur de $e_n$ et le noyau reproduisant $f_a$ , ce qui fournit des polynômes $p_k$ (de type Gegenbauer) tels que les matrices $(p_k(v_i \cdot v_j))$ soient positives. La méthode de programmation linéaire de Delsarte donne alors $m \leqslant f(1)/a_0$ pour un code sphérique d'angle minimal $\pi/3$ , d'où $\tau_8 = 240$ , et la dernière partie établit l'inégalité $\sum s_{ij}^2 \geqslant m^2/n$ pour une matrice symétrique positive de rang au plus $n$ à diagonale unité.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Boules tangentes et nombre de contact p. 2–3

Géométrie affine et euclidienne · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Dénombrement et combinatoire · Inégalité de Cauchy-Schwarz — nombre de contact, boules tangentes, empilement de sphères, produit scalaire, triangle équilatéral, 240 points en dimension 8

Partie II — Invariance par le groupe orthogonal p. 3

Fonctions harmoniques · Isométries et groupe orthogonal · Calcul différentiel · Actions de groupes — laplacien, polynômes homogènes harmoniques, groupe orthogonal, fonction radiale, invariance par rotation

Partie III — Polynômes harmoniques zonaux et noyau reproduisant p. 3–4

Fonctions harmoniques · Noyaux reproduisants · Polynômes de Gegenbauer et de Jacobi · Espaces vectoriels et dimension · Dualité · Groupes de matrices — polynômes harmoniques, polynômes zonaux, stabilisateur, représentation de Riesz, base orthonormée, famille libre de monômes

Parties IV et V — Borne de Delsarte et matrices positives p. 4–5

Matrices symétriques positives · Polynômes de Gegenbauer et de Jacobi · Géométrie affine et euclidienne · Polynômes — méthode de Delsarte, programmation linéaire, code sphérique, matrice de Gram, matrice symétrique positive, $\tau_8 = 240$

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Fonctions de classe Cᵏ Dérivabilité complexe Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Applications différentiables Inégalité des accroissements finis Groupes Anneaux de polynômes Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espace dual Théorème de Cartan-von Neumann