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Agrégation interne 2019 — Épreuve 2

Polynômes d'Hermite généralisés et dérivation d'ordre réel · 11 pages

Le sujet construit les polynômes d'Hermite $H_n(x) = e^{x^2} (\mathrm{d}/\mathrm{d}x)^n e^{-x^2}$ (sans le facteur $(-1)^n$ , d'où $H_{n+1} = -2xH_n + H_n'$ ), établit leur orthogonalité pour le poids $e^{-x^2}$ , leurs relations de récurrence, l'équation différentielle d'Hermite et la réalité de leurs racines. Après une étude de la fonction $\Gamma$ (prolongement aux réels négatifs non entiers, convexité, fonction Bêta, formule de duplication), il définit une dérivation d'ordre réel $s$ par une intégrale de type Riemann-Liouville et en déduit des fonctions d'Hermite $H_s$ , solutions de $y'' - 2xy' + 2sy = 0$ , dont il étudie les expressions par séries hypergéométriques confluentes, le wronskien et le comportement asymptotique en $\pm\infty$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Polynômes orthogonaux d'Hermite p. 5–6

Polynômes de Hermite · Procédé de Gram-Schmidt · Racines et relations coefficients-racines · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équations linéaires d'ordre 2 — polynômes d'Hermite, produit scalaire à poids gaussien, famille orthogonale, relation de récurrence, équation d'Hermite, racines réelles distinctes

Partie II — Quelques résultats sur la fonction $\Gamma$ p. 6–7

Fonctions Gamma et Bêta · Fonctions convexes · Équivalents et comparaison · Intégrales à paramètre · Intégrales multiples — fonction Gamma, prolongement de $\Gamma$ , fonction Bêta, formule de duplication, convexité de $\Gamma$ , tableau de variations

Partie III — Une généralisation de la notion de dérivation p. 8–9

Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Fonctions Gamma et Bêta · Applications linéaires et rang · Intégrales multiples — dérivation d'ordre réel, intégrale de Riemann-Liouville, primitive itérée, composition d'opérateurs, théorème de Fubini

Partie IV — Étude des polynômes d'Hermite généralisés p. 9–11

Polynômes de Hermite · Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Développements asymptotiques · Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre — fonctions d'Hermite, fonction hypergéométrique confluente, symbole de Pochhammer, wronskien, développement asymptotique, solutions maximales

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Dérivabilité Suites réelles et limites Théorème de convergence dominée Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Applications linéaires Théorème du rang Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques