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Agrégation interne 2026 — Épreuve 1

Conjugaison orthogonale rationnelle de matrices symétriques entières · 14 pages

Le sujet étudie les matrices $Q$ de $\mathrm{O}_n(\mathbb{Q})$ telles que $Q^\top A Q$ soit entière pour $A$ symétrique entière. Il réunit des outils sur $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ , le résultant et le discriminant $\Delta$ , les sous-espaces stables pour une forme bilinéaire non dégénérée, l'arithmétique de $\mathbb{F}_p[X]$ et la forme normale de Smith, pour démontrer que tout premier divisant $\ell(Q)$ divise $\Delta(\chi_A)$ , puis que, sous cette hypothèse, $Q$ est entière dès que $\Delta(\chi_A)$ est impair sans facteur carré.

Le sujet, partie par partie

Notations et Vrai ou faux p. 5–6

Déterminants · Sous-espaces stables · Polynômes · Congruences et Z/nZ · Diagonalisation — réduction modulo $p$ , base d'un produit d'espaces, endomorphisme induit diagonalisable, polynôme dérivé nul

Partie I — Matrices à coefficients dans $\mathbb{Z}$ p. 6–7

Groupes de matrices · Matrices orthogonales et rotations · Groupe symétrique · Déterminants · Congruences et Z/nZ — $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ , matrices de permutation, opérations élémentaires, transvection, cardinal de $\mathrm{O}_n(\mathbb{Z})$

Partie II — Résultant et applications p. 8

Résultant et discriminant · Applications linéaires et rang · Polynômes · PGCD, Bézout, Gauss · Racines et relations coefficients-racines · Déterminants — résultant, matrice de Sylvester, discriminant, lemme de Gauss, facteur multiple

Partie III — Sous-espaces stables et forme bilinéaire p. 8–9

Sous-espaces stables · Formes bilinéaires et quadratiques · Polynômes d'endomorphismes · Dualité · Matrices par blocs — forme bilinéaire symétrique non dégénérée, sous-espace totalement isotrope, orthogonal, endomorphisme autoadjoint, polynôme caractéristique induit

Partie IV — Arithmétique des polynômes dans $\mathbb{F}_p[X]$ p. 10

Corps finis · Polynômes · Coefficients binomiaux · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler — morphisme de Frobenius, petit théorème de Fermat, polynôme dérivé nul, puissance $p$ -ième

Partie V — Forme normale de Smith p. 10–12

Modules et forme normale de Smith · Groupes de matrices · PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Arithmétique des entiers — forme normale de Smith, facteurs invariants, division euclidienne, opérations élémentaires sur $\mathbb{Z}$

Partie VI — Preuve du premier résultat p. 12

Corps finis · Sous-espaces stables · Matrices orthogonales et rotations · Formes bilinéaires et quadratiques · Résultant et discriminant — réduction modulo $p$ , discriminant du polynôme caractéristique, forme bilinéaire sur $\mathbb{F}_p$ , facteur multiple

Partie VII — Preuve du second résultat p. 13–14

Congruences et Z/nZ · Matrices orthogonales et rotations · Polynômes · Résultant et discriminant · Modules et forme normale de Smith · Corps finis · Déterminants — discriminant sans facteur carré, congruence modulo $p^2$ , rang modulo $p$ , matrice orthogonale entière

Dans l'édifice

Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Applications linéaires Anneaux de polynômes Les anneaux ℤ/nℤ Matrices d'une application linéaire Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Groupe symétrique et signature Théorème du rang PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Espace dual Corps finis Ensembles finis et principe des tiroirs Modules sur un anneau commutatif Idéaux d'un anneau commutatif Division euclidienne Théorème fondamental de l'arithmétique