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AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2011 — Session normale, 27 mai 2011

Rotations dans le plan complexe, loi exponentielle, barycentres et sphère ou théorèmes de Gauss et de Fermat, fonction exponentielle et suite récurrente · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice compose des rotations du plan complexe pour obtenir un rectangle puis un parallélogramme, et cherche l'ensemble des points pour lesquels ce parallélogramme est un rectangle. Le deuxième calcule la probabilité de tirer deux ordinateurs défectueux, puis exploite une loi exponentielle et la répétition d'épreuves indépendantes. Le troisième, au choix, établit par restitution de connaissances qu'une condition barycentrique définit une sphère et l'applique dans un cube, ou démontre le théorème de Gauss puis cherche, avec le petit théorème de Fermat, les nombres premiers qui divisent un terme de la suite un=2n+3n+6n−1u_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1. Le dernier étudie g(x)=ex−x−1g(x) = \mathrm{e}^x - x - 1, la position de la courbe de f(x)=ex−1ex−xf(x) = \frac{\mathrm{e}^x - 1}{\mathrm{e}^x - x} par rapport à la droite y=xy = x, une aire, et la suite un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Composée de rotations dans le plan complexe : rectangle, parallélogramme et lieu de points p. 1

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — écriture complexe d'une rotation, rectangle, parallélogramme, lieu de points, m−np−n=i+1m\frac{m-n}{p-n} = \mathrm{i} + \frac{1}{m}

Exercice 2 — Tirage de deux ordinateurs, loi exponentielle et répétition d'épreuves indépendantes p. 1–2

Loi exponentielle · Lois de Bernoulli et binomiale · Coefficients binomiaux · Conditionnement et indépendance — loi exponentielle, p(X>5)=0,4p(X > 5) = 0{,}4, probabilité conditionnelle, au moins un, seuil, choix de deux ordinateurs parmi 25

Exercice 3 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Ensemble barycentrique et sphère (restitution de connaissances), plan et droite dans un cube p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace · Barycentres et courbes de Bézier — restitution organisée de connaissances, barycentre, sphère, vecteur normal, représentation paramétrique, ∥MR→−MB→+2MC→∥=22\|\overrightarrow{MR} - \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}\| = 2\sqrt{2}, intersection d'un plan et d'une sphère

Exercice 3 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Théorème de Gauss (restitution de connaissances) et petit théorème de Fermat : diviseurs premiers d'une suite p. 3–4

PGCD, Bézout, Gauss · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler · Nombres premiers — théorème de Gauss, théorème de Bézout, petit théorème de Fermat, congruences, un=2n+3n+6n−1u_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1, parité

Exercice 4 — Étude de fonctions exponentielles, aire entre une courbe et une droite, suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) p. 4–5

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Suites numériques · Points fixes et suites itératives — g(x)=ex−x−1g(x) = \mathrm{e}^x - x - 1, f(x)=ex−1ex−xf(x) = \frac{\mathrm{e}^x - 1}{\mathrm{e}^x - x}, position relative, primitive, aire, suite croissante majorée, construction graphique des termes

Dans l'édifice

Conjugaison et moduleRacines carrées et équations du second degréLa fonction exponentielleEspaces vectoriels et sous-espacesLois de Poisson et loi exponentielleVariables aléatoires, lois, fonctions de répartitionEnsembles finis et principe des tiroirsIndépendance d'événements et de tribusPGCD, théorème de Bézout, lemme de GaussLes anneaux ℤ/nℤThéorème fondamental de l'arithmétiqueDérivabilitéExponentielle et logarithmeIntégrale de RiemannThéorème fondamental de l'analyseSuites réelles et limitesThéorème de Bolzano-WeierstrassComplétude de ℝThéorème du point fixe de BanachThéorème du point fixe de Knaster-Tarski
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