AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2019 — Session normale, 28 mai 2019

Loi normale, fluctuation et arbre pondéré, vrai-faux sur les complexes, inégalité logarithmique et suite récurrente, géométrie dans un cube ou chiffrement matriciel modulo 5 · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice calcule des probabilités pour une loi normale d'espérance $1{,}5$ , détermine un écart-type pour atteindre 98 % de tubes acceptés, décide d'une révision de machine par un intervalle de fluctuation et complète un arbre pondéré. Le deuxième est un vrai-faux sur une équation complexe, la forme exponentielle de $1 + \mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}$ , un ensemble de points et l'équation $z^5 + z - \mathrm{i} + 1 = 0$ . Le troisième établit $\ln(x + 1) \leqslant x$ et l'applique à la suite $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$ , dont on montre la convergence et détermine la limite avant d'écrire un algorithme de seuil. Au choix, les non-spécialistes étudient le solide formé par les centres des faces d'un cube (orthogonalité, plans, intersection de deux plans), et les spécialistes un codage de lettres par multiplication matricielle modulo $5$ , son décodage et une matrice inutilisable.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi normale et réglage de l'écart-type, intervalle de fluctuation, arbre pondéré p. 1–2

Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests · Conditionnement et indépendance · Probabilités totales et formule de Bayes — loi normale d'espérance $1{,}5$ et d'écart-type $0{,}07$ , $Z = \frac{X_1 - 1{,}5}{\sigma_1}$ , détermination de $\sigma_1$ , intervalle de fluctuation asymptotique, arbre pondéré, probabilités totales

Exercice 2 — Vrai-faux sur les nombres complexes : équation, forme exponentielle, ensemble de points et existence d'une solution réelle p. 2

Nombres complexes · Fonctions trigonométriques — vrai-faux, $z - \mathrm{i} = \mathrm{i}(z + 1)$ , $1 + \mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}$ , forme exponentielle, $|z - \mathrm{i}| = |z + 1|$ , $z^5 + z - \mathrm{i} + 1 = 0$

Exercice 3 — Inégalité $\ln(x + 1) \leqslant x$ et suite $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$ p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Suites numériques · Dérivabilité · Informatique et algorithmique — $f(x) = x - \ln(x + 1)$ , $\ln(x + 1) \leqslant x$ , $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, $\ell = f(\ell)$ , algorithme de seuil

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Solide $IJKLMN$ des centres des faces d'un cube : orthogonalité et intersection de deux plans p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — centres des faces d'un cube, droites orthogonales, équation cartésienne du plan $(NCI)$ , plan $(NJM) : x - y + z = 1$ , droite perpendiculaire à un plan, intersection de deux plans

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Codage matriciel modulo $5$ : matrices congrues, décodage et matrice inutilisable p. 4–5

Cryptographie · Calcul matriciel — matrices congrues modulo $5$ , codage d'une lettre par produit matriciel, $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $PM$ congrue à $I$ modulo $5$ , décodage, matrice $R$ non décodable

Dans l'édifice

La loi normale Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Indépendance d'événements et de tribus Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Fonctions trigonométriques Exponentielle et logarithme Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Les anneaux ℤ/nℤ Matrices d'une application linéaire