AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2011 — Session normale, 16 novembre 2011

Suite récurrente, probabilités conditionnelles, fonction logarithme et aire, nombres complexes, géométrie dans l'espace ou arithmétique · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice conjecture graphiquement puis démontre la monotonie et la convergence de la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f(x) = 3 - \frac{4}{x+1}$ et $u_0 = 4$ . Le deuxième tire un dé dans une urne contenant deux dés verts et un dé rouge et calcule, par probabilités totales et conditionnelles, la probabilité que le dé soit rouge sachant qu'on a obtenu 6 à chacun de $n$ lancers. Le troisième étudie $g(x) = x^2(1 - \ln x)$ , sa tangente au point d'abscisse 1 et une aire, et le quatrième résout $z^2 - 2z + 5 = 0$ pour étudier un triangle et des points cocycliques. Le dernier est un vrai-faux, de géométrie dans l'espace pour les non-spécialistes, d'arithmétique et de sections d'un cône pour les spécialistes.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ : conjecture graphique, récurrence et limite p. 1

Suites numériques · Dérivabilité · Points fixes et suites itératives — $f(x) = 3 - \frac{4}{x+1}$ , $u_0 = 4$ , construction graphique des termes, raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, limite

Exercice 2 — Dé tiré dans une urne : arbre pondéré, probabilités totales et probabilité conditionnelle p. 1–2

Probabilités totales et formule de Bayes · Fonctions exponentielle et logarithme — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, $P(S_n) = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{6}\right)^n + \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ , $p_n = \frac{1}{2 \times \left(\frac{1}{4}\right)^n + 1}$ , seuil

Exercice 3 — Fonction $x^2(1 - \ln x)$ : limites, variations, signe, tangente et aire p. 2

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $g(x) = x^2(1 - \ln x)$ , limite en 0, signe d'une fonction, tangente, aire sous la courbe

Exercice 4 — Équation du second degré dans $\mathbb{C}$ , nature d'un triangle et points cocycliques p. 2–3

Nombres complexes · Second degré — $z^2 - 2z + 5 = 0$ , conjugué, forme algébrique, nature d'un triangle, points cocycliques

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux de géométrie dans l'espace : droites, plans et distance d'un point à un plan p. 3

Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai-faux, représentation paramétrique, orthogonalité de deux droites, coplanarité de deux droites, plan perpendiculaire à une droite, distance d'un point à un plan

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux : congruences, PGCD, nombres premiers et sections planes d'un cône p. 3

Congruences et Z/nZ · PGCD, Bézout, Gauss · Nombres premiers · Coniques et quadriques — vrai-faux, reste de $2011^{2011}$ modulo 7, PGCD, $n^2 - 3n - 10$ , cône $x^2 + y^2 = 5z^2$ , section plane

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Indépendance d'événements et de tribus Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Anneaux de polynômes Espaces vectoriels et sous-espaces Les anneaux ℤ/nℤ PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique