AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2013 — Session normale, 21 novembre 2013

Fonction exponentielle et somme géométrique dérivée, géométrie dans le cube, complexes et suite géométrique ou chaîne de Markov, probabilités et fluctuation · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

L'exercice 1 étudie $f(x) = x\mathrm{e}^{1-x}$ , puis dérive la somme géométrique $1 + x + \dots + x^n$ pour calculer $S_n = f(1) + \dots + f(n)$ et sa limite. L'exercice 2 travaille dans un cube : vecteur normal au plan (BGE), droite perpendiculaire, aire d'un triangle et volume d'un tétraèdre. L'exercice 3 étudie soit les points d'affixes $z_n = 2^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-1)^n\frac{\pi}{6}}$ et la longueur d'une ligne brisée, calculée comme une somme géométrique, soit, en spécialité, une navigation entre trois pages web décrite par une matrice $3 \times 3$ et son état stable. L'exercice 4 combine probabilités conditionnelles, loi binomiale et intervalle de fluctuation asymptotique.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction $x \mapsto x\mathrm{e}^{1-x}$ et somme obtenue en dérivant une somme géométrique p. 1

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Suites arithmétiques et géométriques · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x\mathrm{e}^{1-x}$ , croissances comparées, somme des termes d'une suite géométrique, dérivée d'une somme, $S_n = f(1) + \dots + f(n)$

Exercice 2 — Géométrie dans le cube : vecteur normal, droite perpendiculaire à un plan et volume p. 1–2

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, droite perpendiculaire à un plan, nature et aire d'un triangle, volume d'un tétraèdre

Exercice 3 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Équation du second degré, forme exponentielle et ligne brisée p. 2–4

Nombres complexes · Suites arithmétiques et géométriques · Second degré — $z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0$ , forme exponentielle, $z_n = 2^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-1)^n\frac{\pi}{6}}$ , longueur d'une ligne brisée, somme géométrique, seuil

Exercice 3 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Navigation sur un site web et matrice de transition p. 5–6

Calcul matriciel · Chaînes de Markov · Suites numériques — matrice de transition, $U_{n+1} = MU_n$ , $U_n = M^n U_0$ , état stable, puissance d'une matrice, comportement à long terme

Exercice 4 — Probabilités conditionnelles, loi binomiale et intervalle de fluctuation p. 6–7

Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale · Statistique : estimation et tests — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inverse, loi binomiale $\mathcal{B}(400\,; 0{,}1)$ , intervalle de fluctuation asymptotique, prise de décision

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Suites réelles et limites Limite d'une fonction en un point Espaces vectoriels et sous-espaces Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Anneaux de polynômes Matrices d'une application linéaire Indépendance d'événements et de tribus Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass