AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2025 — Jour 2, 14 novembre 2025

Probabilités conditionnelles, loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev, QCM de géométrie dans l'espace, suite définie par un logarithme et suite géométrique, dénombrement, équation différentielle et étude de fonction · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie le service au tennis par un arbre pondéré, une probabilité conditionnelle inverse et l'étude de l'indépendance de deux évènements, puis la conformité de balles par une loi binomiale et la moyenne $M_n$ d'un échantillon par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le deuxième est un QCM de géométrie dans l'espace sur la position relative de droites, d'une droite et d'un plan, la coplanarité de quatre points et l'intersection de deux plans. Le troisième étudie la suite $v_{n+1} = \ln(-1 + 2\mathrm{e}^{v_n})$ à l'aide d'un tableur, démontre sa croissance par récurrence, montre que $w_n = -1 + \mathrm{e}^{v_n}$ est géométrique, en déduit $v_n = \ln(1 + 3 \times 2^n)$ et justifie la terminaison d'un algorithme de seuil. Le quatrième dénombre les couples $(a ; c)$ pour lesquels $ax^2 + 2x + c = 0$ a deux solutions réelles distinctes, résout l'équation différentielle $y' + 10y = (30x^2 + 22x - 8)\mathrm{e}^{-5x+1}$ et réutilise ces résultats pour étudier $f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\mathrm{e}^{-5x+1}$ , ses tangentes horizontales, le nombre de solutions de $f(x) = 1$ et la question de savoir si l'intégrale $I_m$ peut s'annuler.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, indépendance, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev : tennis p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments — arbre pondéré, $P(G) = 0{,}695$ , indépendance de deux événements, $P(X \leqslant 18)$ , loi de Bernoulli, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P(0{,}75 < M_n < 0{,}95) \geqslant 1 - \frac{12{,}75}{n}$

Exercice 2 — QCM de géométrie dans l'espace : droites, droite et plan, coplanarité de quatre points, intersection de deux plans p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — représentation paramétrique, position relative de deux droites, position relative d'une droite et d'un plan, coplanarité de quatre points, vecteur normal, intersection de deux plans

Exercice 3 — Suite définie par un logarithme, tableur, récurrence, suite géométrique auxiliaire et algorithme de seuil p. 3

Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $v_{n+1} = \ln(-1 + 2\mathrm{e}^{v_n})$ , tableur, raisonnement par récurrence, $w_n = -1 + \mathrm{e}^{v_n}$ , suite géométrique, $v_n = \ln(1 + 3 \times 2^n)$ , algorithme de seuil

Exercice 4 — Dénombrement et discriminant, équation différentielle, étude de fonction et primitive p. 4–5

Dénombrement et combinatoire · Second degré · Équations différentielles linéaires · Dérivabilité · Continuité · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Espaces probabilisés — $ax^2 + 2x + c = 0$ , discriminant, $ac < 1$ , $y' + 10y = (30x^2 + 22x - 8)\mathrm{e}^{-5x+1}$ , $f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\mathrm{e}^{-5x+1}$ , tangentes horizontales, primitive, $I_m = \int_{0{,}2}^{m} f(x)\,\mathrm{d}x$

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Exponentielle et logarithme Théorème de définition par récurrence Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Anneaux de polynômes Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles