AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2014 — Remplacement, 11 septembre 2014

Probabilités conditionnelles, loi exponentielle et loi normale, suite récurrente associée à une fonction, équation exponentielle à paramètre, complexes et lieux de points, matrices · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice traite un test de conformité de peluches par un arbre pondéré et une probabilité conditionnelle, puis une durée de vie suivant une loi exponentielle et une loi normale dont on détermine l'écart-type. Le deuxième exercice étudie $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ et la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ , montre qu'elle converge et détermine sa limite, puis complète un algorithme calculant une somme de termes. Le troisième exercice ramène l'équation $\mathrm{e}^{x} - x^n = 0$ à $\ln(x) - \frac{x}{n} = 0$ et cherche pour quels $n$ elle admet deux solutions. Le quatrième exercice étudie $f(z) = z^2 + 2z + 9$ dans $\mathbb{C}$ avec des équations et des lieux de points pour les non-spécialistes, et, pour les spécialistes, l'évolution des fonds de deux agences par $U_{n+1} = AU_n + B$ et $A^n = PD^nQ$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré et probabilité conditionnelle, loi exponentielle, loi normale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Loi exponentielle · Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, $P(D \leqslant 4) = 0{,}5$ , durée de vie sans vieillissement, loi normale centrée réduite

Exercice 2 — Suite $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ : convergence, limite et algorithme de somme p. 2–6

Suites numériques · Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ , $u_{n+1} = f(u_n)$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, construction graphique des termes, algorithme

Exercice 3 — Nombre de solutions de l'équation $\mathrm{e}^{x} = x^n$ p. 2–3

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité — $\mathrm{e}^{x} - x^n = 0$ , $\ln(x) - \frac{x}{n} = 0$ , nombre de solutions, équation à paramètre, étude de fonction

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Polynôme complexe du second degré, cercle et réunion de droites p. 3–4

Nombres complexes · Second degré — $f(z) = z^2 + 2z + 9$ , équation du second degré dans $\mathbb{C}$ , forme exponentielle, cercle, ensemble de points, construction à la règle et au compas

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suites matricielles et puissances d'une matrice p. 4–5

Calcul matriciel · Diagonalisation · Suites numériques — $U_{n+1} = AU_n + B$ , $A^n = PD^nQ$ , $V_{n+1} = AV_n$ , limite, interprétation des coefficients

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Lois de Poisson et loi exponentielle La loi normale Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité Exponentielle et logarithme Théorème de définition par récurrence Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Anneaux de polynômes Matrices d'une application linéaire