AnnalesBaccalauréat

Bac Asie Terminale 2016 — Session normale, 23 juin 2016

Probabilités totales et loi normale, intégrale dépendant d'un paramètre, suite arithmético-géométrique et fonction logistique avec contrôle de qualité, réflexions dans un coin de cube ou chiffrement de Hill · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice examine en vrai-faux des probabilités totales et conditionnelles sur des fleurs de fraisier, puis détermine l'écart-type d'une loi normale et des intervalles de conformité. Le deuxième étudie l'intégrale $I(a) = \int_0^1 (a\mathrm{e}^{ax} + a)\,\mathrm{d}x$ et se demande s'il existe une valeur de $a$ pour laquelle elle vaut 2, question qui relève du théorème des valeurs intermédiaires. Le troisième modélise une masse de bactéries d'abord par la suite $u_{n+1} = 1{,}2u_n - 100$ avec un algorithme de seuil, puis par la fonction $f(t) = \frac{50}{1 + 49\mathrm{e}^{-0{,}2t}}$ , et contrôle une proportion par un intervalle de fluctuation. Au choix, les non-spécialistes suivent un rayon lumineux réfléchi par les trois faces d'un catadioptre et étudient la coplanarité des rayons, et les spécialistes résolvent $9d - 26m = 1$ puis chiffrent et déchiffrent par la méthode de Hill avec une matrice inversible modulo 26.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Vrai-faux de probabilités totales, loi normale et intervalles de conformité p. 1–2

Probabilités totales et formule de Bayes · Loi normale et vecteurs gaussiens — vrai-faux, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi normale, variable centrée réduite, détermination de $\sigma$

Exercice 2 — Intégrale dépendant d'un paramètre et théorème des valeurs intermédiaires p. 2

Intégrale sur un segment · Continuité · Fonctions exponentielle et logarithme — $f_a(x) = a\mathrm{e}^{ax} + a$ , $I(a) = \int_0^1 f_a(x)\,\mathrm{d}x$ , interprétation graphique d'une intégrale, théorème des valeurs intermédiaires, encadrement d'une solution

Exercice 3 — Suite arithmético-géométrique, fonction logistique et intervalle de fluctuation p. 2–4

Suites arithmétiques et géométriques · Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Statistique : estimation et tests · Informatique et algorithmique · Limites de fonctions et asymptotes — $u_{n+1} = 1{,}2u_n - 100$ , algorithme de seuil, raisonnement par récurrence, $f(t) = \frac{50}{1 + 49\mathrm{e}^{-0{,}2t}}$ , résolution d'une inéquation, intervalle de fluctuation asymptotique

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Réflexions d'un rayon dans un coin de cube : droites, plans et coplanarité p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — catadioptre, vecteur directeur, représentation paramétrique, intersection d'une droite et d'un plan, vecteur normal, droites coplanaires

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation diophantienne et chiffrement de Hill modulo 26 p. 5–6

PGCD, Bézout, Gauss · Cryptographie · Calcul matriciel — $9d - 26m = 1$ , équation diophantienne, nombres premiers entre eux, chiffrement de Hill, $A = \begin{pmatrix} 9 & 4 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}$ , matrice inverse modulo 26, déchiffrement

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus La loi normale Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Exponentielle et logarithme Suites réelles et limites Dérivabilité Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Théorème de définition par récurrence Limite d'une fonction en un point Espaces vectoriels et sous-espaces PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ Matrices d'une application linéaire