AnnalesBaccalauréat

Bac Sujets zéro et inédits Terminale 2021 — Sujet 2 du 15 mars, 15 mars 2021

QCM sur la loi binomiale et un tirage sans remise, suites couplées approchant racine de 2, aire d'un triangle par projection orthogonale, fonction exponentielle ou fonction logarithme · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM qui porte d'abord sur une loi binomiale de paramètres 9 et 0,03, puis sur des probabilités conditionnelles et totales dans un tirage sans remise. Le deuxième étudie les suites couplées $u_{n+1} = u_n + v_n$ et $v_{n+1} = 2u_n + v_n$ , montre que le quotient $r_n = v_n / u_n$ converge vers $\sqrt{2}$ et interprète un programme Python de seuil. Le troisième montre que la droite orthogonale au plan $(ABC)$ passant par l'origine coupe ce plan en un point $H$ donné et en déduit l'aire du triangle $ABC$ en calculant de deux façons le volume de $OABC$ . Au choix, l'exercice A étudie la position relative des courbes de $x^2\mathrm{e}^{-x}$ et $\mathrm{e}^{-x}$ et maximise sur $[-1, 1]$ la distance verticale entre elles, puis compte les points d'intersection de la droite d'équation $y = x + 2$ avec la courbe de $\mathrm{e}^{-x}$ , et l'exercice B étudie une fonction logarithmique à l'aide d'une fonction auxiliaire, puis les variations d'une primitive de cette fonction.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM de probabilités : loi binomiale et tirage sans remise p. 1–2

Lois de Bernoulli et binomiale · Conditionnement et indépendance · Probabilités totales et formule de Bayes · Coefficients binomiaux — QCM, loi binomiale $\mathcal{B}(9\,;\,0{,}03)$ , $P(X = 2)$ , probabilité d'au moins un succès, tirage sans remise, $P_{V_1}(V_2)$ , probabilités totales

Exercice 2 — Suites couplées, encadrement et convergence de $v_n / u_n$ vers $\sqrt{2}$ p. 2

Suites numériques · Informatique et algorithmique — suites couplées, raisonnement par récurrence, $r_n = \dfrac{v_n}{u_n}$ , théorème des gendarmes, approximation de $\sqrt{2}$ , $r_{n+1} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}$ , algorithme de seuil en Python

Exercice 3 — Plan $(ABC)$ , projeté orthogonal de l'origine et aire du triangle par le volume p. 3

Géométrie vectorielle dans l'espace — vecteur normal, $3x + 2y + 6z - 6 = 0$ , droite orthogonale à un plan, projeté orthogonal, distance d'un point à un plan, volume d'une pyramide, aire du triangle $ABC$

Exercice 4, au choix : exercice A — Fonctions exponentielles : position relative de courbes et distance maximale p. 3–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Second degré · Continuité · Extrema et optimisation — $f(x) = x^2\mathrm{e}^{-x}$ , $g(x) = \mathrm{e}^{-x}$ , position relative de deux courbes, $d(x) = \mathrm{e}^{-x} - x^2\mathrm{e}^{-x}$ , distance maximale, points d'intersection d'une droite et d'une courbe

Exercice 4, au choix : exercice B — Fonction logarithme : fonction auxiliaire, signe et variations d'une primitive p. 4–5

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes · Intégrale sur un segment — $g(x) = \ln x + 2x - 2$ , fonction auxiliaire, $f(x) = \left(2 - \frac{1}{x}\right)(\ln x - 1)$ , $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ , tableau de signes, primitive $F$ , tangente horizontale

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Ensembles finis et principe des tiroirs Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Exponentielle et logarithme Dérivabilité Anneaux de polynômes Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Applications différentiables Limite d'une fonction en un point Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse